Варіантність добутку k корельованих випадкових величин

Яка дисперсія добутку корельованих випадкових величин? $k$

variance random-variable

Відповіді:

Більш детальну інформацію по цій темі, ніж вам, мабуть, потрібно, можна знайти в Goodman (1962): "Варіантність добутку K випадкових змінних" , де виводяться формули як незалежних випадкових змінних, так і потенційно корельованих випадкових змінних, а також деякі наближення. У попередній роботі ( Goodman, 1960 ) була виведена формула добутку з точно двох випадкових змінних, яка є дещо простішою (хоча все ще досить загальною), так що це може бути кращим місцем для початку, якщо ви хочете зрозуміти виведення .

Для повноти, однак, йде так.

Дві змінні

Припустимо наступне:

$x$ і - дві випадкові величини $y$
$X$ і це їхні (ненульові) очікування $Y$
$V(x)$ і - їх відмінність $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (і аналогічно для ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (і аналогічно для ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ - коефіцієнт зміни квадрату: (аналогічно ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

Тоді: або рівнозначно:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

Більше двох змінних

Документ 1960 р. Припускає, що ця вправа для читача (яка, здається, мотивувала документ 1962 року!).

Позначення подібні з кількома розширеннями:

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ - випадкові величини замість та $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1 або 2 для $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = кількість 1 у $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = кількість 2-х в $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ для і для , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ вказує підсумовування наборів де $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

Потім, нарешті:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

Докладні відомості та трохи більш простежувані наближення див. У документах!

— Метт Краузе
джерело

зауважте, що вищевказана відповідь від Метта Краузе містить помилку, як і сам документ. У визначенні функції C (s1, ..., sk) це повинен бути добуток замість суми.

— Ніколя Гіслер

Не могли б ви детальніше розробити ..? "Тому що я - анонімна людина з Інтернету - кажу так" - це насправді не відповідь ...

— Тім

Якщо ви спробуєте отримати varance var (x * y) для незалежних випадкових величин, за допомогою формули для довільних k ви можете побачити, що правильний відповідь дає лише добуток, а не сума. Крім того, якщо ви подивитеся на папір, ви також можете це побачити, на сторінці 59 статті (принаймні в моїй версії) він використав продукт замість суми.

— Ніколя Гіслер

У випадку з двома випадковими змінними, у цій відповіді за допомогою @macro можна знайти просту формулу для дисперсії добутку двох корельованих випадкових змінних . Ця відповідь також вказує на істотну проблему в . Е. Товща позначення приховує істотний факт, що в ньому є терміни, значення яких неможливо визначити, якщо ми не знаємо cov , або достатньо про щільність стику двох випадкових величин, щоб визначити цю величину.

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— Діліп Сарват

Пропозиція редагування, яка справді мала б бути коментарем, передбачає, що в первинному документі міститься помилка друку, де сума і продукт змішуються, і цю відповідь слід внести зміни. Дивіться stats.stackexchange.com/review/sugges-edits/83662

— Silverfish

Просто додати до дивовижної відповіді Метта Крауза (насправді легко вивести звідти). Якщо x, y незалежні, то

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— Ананда
джерело

Результат для випадку незалежних випадкових величин тут обговорювався .

n

$n$

— Діліп Сарват

На додаток до загальної формули, наданої Меттом, можливо, варто відзначити, що існує дещо більш чітка формула для нульових середніх гауссових випадкових величин. Це випливає з теореми Іссерліса , див. Також Вищі моменти для централізованого багатоваріантного нормального розподілу.

Припустимо, що слід багатоваріантного нормального розподілу із середнім 0 та коваріаційною матрицею . Якщо кількість змінних непарна, і де означає суму по всіх розділах на неперервні пари кожен термін є продуктом відповідних 's та де $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$ - матриця коваріації для . Якщо парне, У випадку отримаємо Якщо отримаємо де в сумі є 15 доданків.

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

Насправді можна реалізувати загальну формулу. Найважчою частиною виявляється обчислення необхідних розділів. У R це можна зробити за допомогою функції setpartsз пакету partitions. Використовуючи цей пакет, не було проблем генерувати 2,027,025 розділів для , 34,459,425 розділів для можна також генерувати, але не 654 729,075 розділів для (на моєму ноутбуці 16 ГБ). $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

Пару інших речей варто відзначити. По-перше, для гауссових змінних з ненульовим середнім значенням повинно бути можливим і вираз з теореми Іссерліса. По-друге, незрозуміло (для мене), чи наведена вище формула є надійною щодо відхилень від нормальності, тобто якщо вона може бути використана як апроксимація, навіть якщо змінні не є багатоваріантними нормально розподіленими. По-третє, хоча формули, наведені вище, є правильними, сумнівно, наскільки дисперсія говорить про розподіл продуктів. Навіть для розподіл продукту є досить лептокуртичним, а для більшого він швидко стає надзвичайно лептокуртичним. $k = 2$ $k$

— NRH
джерело

Акуратний підхід! Для чого це варто, формула моєї відповіді також має комбінаторний вибух: підсумовування над C включає підсумовування доданків.

O (3^{k})

$O(3^k)$

— Метт Крауз