Чи є тест і однобічний ANOVA обидва тести Вальда?

11

t-тест для перевірки того, чи є середнє значення нормально розподіленого зразка рівним константі, є тестом Вальда шляхом оцінки стандартного відхилення середнього зразка за інформацією рибалки про нормальне розподіл на середньому зразку. Але тестова статистика в t-тесті має розподіл t-студента, тоді як тест-статистика в асимптотичному тесті Уолда має розподіл c-квадрата. Цікаво, як це пояснити?

В односторонньому ANOVA тестова статистика визначається як співвідношення між дисперсією класу та дисперсією між класом. Мені було цікаво, чи це теж тест Вальда? Але тестова статистика в односторонньому ANOVA має розподіл F, а статистика тесту в асимптотичному тесті Вальда має розподіл chi-квадрата. Цікаво, як це пояснити?

Дякую та з повагою!

hypothesis-testing anova

— Тім
джерело

17

Розглянемо наступне налаштування. У нас є - мірний вектор параметрів , що визначає модель повністю і оцінка максимальної правдоподібності . Інформація про Фішера в позначається . Те, що зазвичай називають статистикою Wald, це $p$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $\theta$ $I(\theta)$

(\hat{θ} - θ)^{Т} Я (\hat{θ}) (\hat{θ} - θ)

$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$

де є інформація Фішера оцінюється в оцінках максимальної правдоподібності. В умовах регулярності статистика Уолда асимптотично випливає -розподілом з -градусами свободи, коли - справжній параметр. Статистику Уолда можна використовувати для перевірки простої гіпотези на всьому векторі параметрів. $I(\hat{\theta})$ $\chi^2$ $p$ $\theta$ $H_0 : \theta = \theta_0$

З зворотного Фішера інформації , яку тестова статистика Вальда з гіпотези є $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$ $H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$ Його асимптотичний розподіл являє собою-розподіл з 1 ступенем свободи.

\frac{({\hat{θ}}_{1} - θ_{0, 1})^{2}}{Σ (\hat{θ})_{i i}} .

$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$

χ^{2}

$\chi^2$

Для нормальної моделі , де є вектором середньої і параметри дисперсії, тестова статистика Вальда тестування , якщо є $\theta = (\mu, \sigma^2)$ $\mu = \mu_0$ ззразка розміром. Тутє максимальним правдоподібністю оцінкою(де ви розділите на). -test статистика

\frac{н (\hat{мк} - {мк}_{0})^{2}}{{\hat{σ}}^{2}}

$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$

n

$n$

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

n

$n$

t

$t$

де

- неупереджений оцінювач дисперсії (де ділиться на

). Статистика тесту Уолда майже, але не зовсім дорівнює квадрату

-тестової статистики, але вони асимптотично еквівалентні, коли

. Статистика

-test уквадратімає точний

-розподіл, який сходиться до

-розподілу з 1 ступенем свободи при

.

\frac{\sqrt{н} (\hat{мк} - {мк}_{0})}{с}

$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$

s^{2}

$s^2$

n - 1

$n-1$

t

$t$

n \to \infty

$n \to \infty$

t

$t$

F (1, n - 1)

$F(1, n-1)$

χ^{2}

$\chi^2$

n \to \infty

$n \to \infty$

Ця ж історія стосується -тесту в односторонньому ANOVA. $F$

— NRH
джерело

Дякую! Я щойно встановив, що t-тестова статистика побудована безпосередньо на статистиці тесту співвідношення ймовірності, а не на статистиці тесту Вальда. Чи одностороння ANOVA безпосередньо базується на тесті коефіцієнта ймовірності?

— Тім

3

F

$F$

Дякую! У звичайній статистичній моделі деякі також кажуть, що розподіл незначної модифікації тестової статистики Уолда має розподіл F під нуль. Це правда? Я відправляю питання тут

— Tim

13

@NRH дав хорошу теоретичну відповідь, ось одна, яка має намір бути простішою, інтуїтивнішою.

$n$ $n-1$ всередині квадратного кореня). Ми могли б навіть розробити тест у стилі Уолда на основі розрахункової медіани мінус гіпотезованої медіани, розділеної на функцію IQR, але я не знаю, за яким розподілом воно буде випливати, було б краще використовувати завантажувальну, перестановку чи імітовану розподіл для цього тесту, а не залежно від асимптотики хі-квадрат. Тест F для ANOVA також відповідає загальній схемі; чисельник можна вважати вимірюванням різниці середніх значень від загального середнього значення, а знаменник - мірою зміни.

Також зауважте, що якщо ви будете квадратною випадковою змінною, яка слідує при розподілі, вона буде слідувати розподілу F з 1 df для чисельника, а знаменник df буде тими з розподілу t. Також зауважте, що розподіл F з нескінченним знаменником df є розподілом chi-квадрата. Отже, це означає, що і t-статистика (у квадраті), і статистика F асимптотично чи-квадратично подібно до статистики Вальда. Ми просто використовуємо більш точний розподіл на практиці.

— Грег Сніг
джерело