Хвостові межі евклідової норми для рівномірного розподілу на

11

Які відомі верхні межі щодо того, як часто євклідова норма рівномірно вибраного елемента буде більше, ніж заданий поріг? $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Мене в основному цікавлять межі, які сходяться експоненціально до нуля, коли набагато менше . $n$ $d$

uniform extreme-value bounds

— Рікі Демер
джерело

Це легко відповісти за пороги ви просто обчислюєте обсяги гіперсфер, але складніше розробити для . Ви знаходитесь в будь-якій з цих ситуацій?

t \leq n

$t\le n$

t > n

$t \gt n$

— whuber

3

Мені знадобиться.

t > n

$\: t > n \;\;$

$\;\;\;\;$

— Рікі Демер

1

На даний момент я не встигаю розмістити детальну відповідь, але ось тим часом підказка: Порівняйте до біноміальної випадкової величини з тим самим середнім значенням, використовуючи стандартну техніку, пов'язану з Чернофом. Це дасть границю форми для відповідних і умови що має сенс, коли ви задумаєтесь про те, що означає відстань у квадраті Евкліда. Сподіваюся, що хтось допомагає.

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$

a

$a$

b

$b$

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$

— кардинал

1

Інтуїтивно слід бути очевидним, що точка, координати якої відбираються навмання з рівномірного розподілу, повинна мати невеликий модуль через прокляття розмірності. Зі збільшенням ймовірність того, що точка, відібрана навмання від об’єму розмірної одиничної кулі, матиме відстань, меншу або рівну від центру, є , яка падає експоненціально швидко. $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

Я дам повну версію рішення кардинала.

Нехай - одна незалежна копія дискретного, рівномірного розподілу по цілих числах . Ясно, що , і легко обчислити, що $X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Нагадаємо, що і що $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Таким чином, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ обчислення

Нехай $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

Я закінчу це завтра, але ви можете бачити, що ця змінна має значення приблизно , тоді як менше частка точок має відстані менше половини максимальної відстані $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— Михайло К
джерело

0

Якщо всі дотримуються незалежних дискретних уніформ над , то, оскільки є значення для вибору, а їх середнє значення 0, ми маємо для всіх : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ і

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Тоді якщо - квадратна евклідова норма вектора і через незалежність : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

Звідси ви можете використовувати нерівність Маркова: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Ця межа зростає з , що є нормальним, оскільки при збільшенні норма евклідової збільшується порівняно з фіксованим порогом . $d$ $d$ $a$

Тепер, якщо ви визначите як "нормалізовану" квадратну норму (яка має те саме очікуване значення незалежно від того, наскільки велике ), ви отримаєте: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Принаймні, ця межа не піднімається з , але вона все ще далека від вирішення ваших пошуків граничної експоненціальної межі! Цікаво, чи це може бути пов’язано зі слабкістю нерівності Маркова ... $d$

Я думаю, ви повинні уточнити своє запитання, оскільки, як зазначено вище, середня евклідова норма ваших векторів лінійно піднімається в , тому ви навряд чи знайдете верхню межу для яка зменшується в з фіксованим порогом . $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— джубо
джерело