Нормальність припущення ANOVA / нормальний розподіл залишків

На сторінці Вікіпедії на ANOVA перелічено три припущення , а саме:

• Незалежність випадків - це припущення про модель, яка спрощує статистичний аналіз.
• Нормальність - розподіл залишків нормальний.
• Рівність (або «однорідність») дисперсій, що називається гомоскедастичністю ...

Цікавим тут є друге припущення. Кілька джерел перераховують припущення по-різному. Деякі кажуть про нормальність необроблених даних, деякі заявляють про залишки.

З'являється кілька питань:

• - це нормальність і нормальний розподіл залишків однієї і тієї ж людини (на основі запису у Вікіпедії, я б стверджував, що нормальність є властивістю, і вона не стосується залишків безпосередньо (але може бути власністю залишків (глибоко вкладений текст у дужках, химерний)))?
• якщо ні, яке припущення має бути виконане? Один? Обидва?
• якщо припущення нормально розподілених залишків є правильним, чи ми робимо серйозну помилку, перевіряючи лише гістограму вихідних значень на нормальність?

Припустимо, це модель з фіксованими ефектами . (Порада насправді не змінюється для моделей з випадковими ефектами, вона стає трохи складнішою.)

1. Ні, нормальність і нормальний розподіл залишків не однакові . Припустимо, ви виміряли урожайність врожаю із застосуванням добрив та без них. На ділянках без добрива врожайність становила від 70 до 130. На двох ділянках з добривом урожайність становила від 470 до 530. Розподіл результатів сильно ненормативний: він згрупований у двох місцях, пов’язаних із внесенням добрив. Припустимо, додатково середня врожайність становить відповідно 100 і 500. Тоді всі залишки коливаються від -30 до +30. Вони можуть (або не можуть) бути нормально розподіленими, але очевидно, що це зовсім інший розподіл.

2. Розподіл залишків має значення , оскільки вони відображають випадкову частину моделі. Зауважимо також, що р-значення обчислюються із статистики F (або t) і залежать від залишків, а не від початкових значень.

3. Якщо в даних є значні та важливі ефекти (як у цьому прикладі), можливо, ви можете зробити «серйозну» помилку . Ви можете, пощастило, зробити правильне визначення: тобто, переглянувши необроблені дані, ви будете збирати суміш розподілів, і це може виглядати нормально (чи ні). Справа в тому, що те, що ти шукаєш, не має значення.

Залишки ANOVA не повинні бути десь близькими до нормальних, щоб відповідати моделі. Однак майже нормальність залишків є важливою, щоб значення р, обчислені з розподілу F, були значимими.

Стандартний класичний односторонній ANOVA можна розглядати як розширення до класичного "2-зразкового Т-тесту" до "n-зразка Т-тесту". Це видно з порівняння одностороннього ANOVA лише з двома групами з класичним 2-зразковим Т-тестом.

Я думаю, що ви заплутаєтесь у тому, що (за припущеннями моделі) залишки та необроблені дані ВІДПОВІДНО розподіляються. Однак необроблені дані складаються з звичайних розподілів з різними засобами (якщо всі ефекти абсолютно не однакові), але однакової дисперсії. Залишки, з іншого боку, мають однаковий нормальний розподіл . Це випливає з третього припущення гомоскедастичності.

Це відбувається тому, що нормальний розподіл розкладається на середні та дисперсійні компоненти. Якщо має нормальний розподіл із середнім а дисперсію можна записати як де має стандартний нормальний розподіл. μ j σ 2 Y i j = μ j + σ ϵ i j ϵ i $Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

Хоча ANOVA є похідним від припущення про нормальність, я думаю (але не впевнений), його можна замінити припущенням про лінійність (уздовж ліній оцінки " Найкращий лінійний об'єктивний оцінювач" ), де "BEST" інтерпретується як мінімальний середній квадрат помилка). Я вважаю , що це в основному включає в себе заміну розподілу для з будь-яким взаємно незалежним розподілом (за всіма я і J ) , який має в увазі 0 і дисперсією 1.$\epsilon_{ij}$

Що стосується перегляду ваших необроблених даних, то це повинно виглядати нормально, якщо їх планувати окремо для кожного рівня фактору у вашій моделі . Це означає побудувати для кожного j на окремому графіку.$Y_{ij}$

У односторонньому випадку з групами розміру : деn j F = S S b / d f $p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$ і

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$ слідує за -розподілом, якщо і є незалежними, -розподілені змінні зі і градусами свобода, відповідно. Це той випадок, коли і є сумою квадратних незалежних нормальних змінних із середнім значенням та рівним масштабом. Таким чином, і повинні бути нормально розподілені.$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$ - залишок від повної моделі ( ), є залишком з обмеженої моделі ( ). Різниця цих залишків становить .$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

EDIT для відображення роз'яснення @onestop: під всі справжні засоби групи рівні (і, таким чином, рівні ), таким чином, нормальність залишків на рівні групи передбачає нормальність . Значення DV самих не потрібно нормально розподіляти.$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$