Очікувана кількість разів, коли емпіричне середнє значення перевищить значення

Враховуючи послідовність iid випадкових величин, скажімо, для , я намагаюся пов'язати очікувану кількість разів емпіричного середнього перевищить значення, , оскільки ми продовжуємо малювати зразки, тобто: $X_i \in [0,1]$$i = 1,2,...,n$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$$c \geq 0$

$$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$$

Якщо припустити, що для деяких , ми можемо використовувати нерівність Геффдінга для досягнення$c = a + \mathbb{E}[X]$$a > 0$

$$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$$

Що виглядає приємно (можливо), але насправді досить вільне, чи є кращі способи обмеження цього значення? Я думаю, що може бути спосіб, оскільки різні події (для кожного ) явно не є незалежними, я не знаю жодного способу використання цієї залежності. Також непогано було б зняти обмеження, що більше середнього.$j$$c$

edit : Обмеження на яке перевищує середнє, може бути знято, якщо ми будемо використовувати Нерівність Маркова наступним чином:$c$

$$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$$ Що є більш загальним, але набагато гіршим за вищезазначене, хоча зрозуміло, що повинен розходитися, коли .$\mathcal{T}$$c \leq \mathbb{E}[X]$

Це досить ручний підхід, і я дуже вдячний за якийсь коментар до нього (а критичні, як правило, є найбільш корисними). Якщо я правильно розумію, ОП обчислює вибірковий засіб , де кожен зразок містить попередній зразок +1 спостереження з нового rv Позначимо розподіл середнього зразка середнього. Тоді ми можемо писати $\bar x_j$$F_j$

$$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$$

Розглянемо приклад розміру , після чого розподіл вибіркового середнього майже в нормі, позначимо його . Тоді ми можемо писати$m$$\hat G$

$$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$$

Розв’язуючи отримуємо де є нормальним нормальним cdf, - це стандартне відхилення процесу iid, а - його середнє значення. Вставляючи в зв'язане і переставляючи, ми отримуємо$\hat G_j(c)$

$$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$$ $\Phi$$\sigma$$\mu$

$$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$$

Зауважимо, що ця межа залежить також від дисперсії процесу. Це краща межа, ніж представлена ​​у питанні? Це вирішально залежатиме від того, наскільки "швидко" розподіл середнього зразка стає "майже нормальним". Щоб навести числовий приклад, припустимо, що . Припустимо також, що випадкові величини є однаковими в . Тоді і . Розглянемо 10% відхилення від середнього значення, тобто встановити . тоді: вже при пов'язана я пропоную (що має значення для ) стає жорсткішою. Для межа Гёффінга становить$m= 30$$[0,1]$$\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$$\mu = \frac 12$$a=0.05$$n=34$$n>30$$n=100$$78.5$а пропонований я пропоную . Хёфдінга неминуче сходиться до в той час як пов'язаний пропоную Якщо збільшити розбіжність між цими двома межами зменшується , але залишається видимим: для відхилення 20%, , то Хёфдінга неминуче сходиться до в той час як Я пропоную збільшити до (тобто сума нормальних cdfs дуже мало сприяє загальній межі). Дещо більш загально зазначимо, що для зв'язаний Гоффдінг сходить до$36.2$$\approx 199.5$$\approx 38.5$$a$$a=0.1$$49.5$$30.5$
$n\rightarrow \infty$

$$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$$ поки мій прив’язаний до $$A_b \rightarrow m$$

Оскільки для малих значень (що, скоріше, цікавить) стає великою кількістю, все ж є випадок, що може перевершити його в герметичності, навіть якщо зразок такий, що середнє значення розподілу вибірки повільно сходить до нормальний розподіл.$a$$H_b$$A_b$