Як обчислити 2D стандартне відхилення з 0 середнім значенням, обмеженим межами

Моя проблема полягає в наступному: я опускаю відразу 40 кульок з певної точки, кілька метрів над підлогою. Кульки котиться, і приходить до відпочинку. За допомогою комп’ютерного зору я обчислюю центр маси в площині XY. Мене цікавить лише відстань від центру маси до кожного кулі, яка розраховується за допомогою простої геометрії. Тепер я хочу знати однобічне стандартне відхилення від центру. Отже, я міг би знати, що певна кількість кульок знаходиться в межах одного std радіусу, більше кульок в радіусі 2 * std тощо. Як обчислити однобічне стандартне відхилення? Нормальний підхід зазначає, що половина кульок знаходиться на "негативній стороні" 0 означає. Це, звичайно, не має сенсу в цьому експерименті. Чи повинен я переконатися, що кульки відповідають стандартному розподілу? Дякую за будь-яку допомогу.

Щоб охарактеризувати величину двовимірної дисперсії навколо центроїда, потрібно просто (коренева) середня відстань у квадраті,

$$\hat\sigma=\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_i\left((x_i - \bar{x})^2 + (y_i - \bar{y})^2\right)}.$$

У цій формулі - координати точок, а їх центроїд (точка середніх значень) дорівнює$(x_i, y_i), i=1, 2, \ldots, n$$(\bar{x}, \bar{y}).$

---

Питання задає розподіл відстаней. Коли кулі мають ізотропний двовимірний нормальний розподіл навколо їх центральної залози - що є стандартним і фізично обґрунтованим припущенням - відстань у квадраті пропорційна розподілу чи-квадрата з двома ступенями свободи (по одному на кожну координату). Це прямий наслідок одного визначення розподілу chi-квадрата як суми квадратів незалежних стандартних нормальних змінних, оскільки - лінійна комбінація незалежних нормальних змінних з очікуванням Написання загальної дисперсії

$$x_i - \bar{x} = \frac{n-1}{n}x_i - \sum_{j\ne i}\frac{1}{n}x_j$$ $$\mathbb{E}[x_i - \bar{x}] = \frac{n-1}{n}\mathbb{E}[x_i] -\sum_{j\ne i}\frac{1}{n}\mathbb{E}[x_j] = 0.$$ $x_i$як , Припущення про анізотропію полягає в тому, що мають той самий розподіл, що і і незалежні від них, тому однаковий результат справедливий для розподілу . Це встановлює константу пропорційності: квадрати відстаней мають розподіл у квадраті з двома ступенями свободи, масштабовану на .$\sigma^2$ $$\mathbb{E}[\left(x_i -\bar{x}\right)^2]=\text{Var}(x_i - \bar{x}) = \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\text{Var}(x_i) + \sum_{j\ne i}\left(\frac{1}{n}\right)^2\text{Var}(x_j) = \frac{n-1}{n}\sigma^2.$$ $y_j$$x_i$$(y_j - \bar{y})^2$$\frac{n-1}{n}\sigma^2$

Найсуворішим випробуванням цих рівнянь є випадок , оскільки тоді дріб найбільше відрізняється від . Симулюючи експеримент, як для і для , і перенапружуючи гістограми квадратних відстаней масштабованими розподілами чи-квадрата (червоним кольором), ми можемо перевірити цю теорію.$n=2$$\frac{n-1}{n}$$1$$n=2$$n=40$

Кожен рядок показує однакові дані: ліворуч вісь x логарифмічна; праворуч він показує фактичну відстань у квадраті. Справжнє значення для цих симуляцій було встановлено на .$\sigma$$1$

Ці результати для 100 000 ітерацій з і 50 000 ітерацій з . Домовленості між гістограмами та щільністю у квадратику є чудовими.$n=2$$n=40$

---

Хоча $\sigma^2$невідомо, його можна оцінити різними способами. Наприклад, має бути середня квадратна відстань$\frac{n-1}{n}\sigma^2$ разів більше середнього значення $\chi^2_2$, який $2$. З$n=40$, наприклад, кошторис $\sigma^2$ як $\frac{40}{39}/2$разів перевищує середню відстань у квадраті. Таким чином, оцінка$\sigma$ було б $\sqrt{40/78}$разів відстань RMS. Використання значень$\chi^2_2$ Потім ми можемо сказати, що:

• Приблизно на 39% відстаней буде менше $\sqrt{39/40}\hat\sigma$, тому що 39% а $\chi^2_2$ розподіл менше, ніж $1$.

• Приблизно 78% відстаней будуть менше $\sqrt{3}$ разів $\sqrt{39/40}\hat\sigma$, тому що 78% а $\chi^2_2$ розподіл менше, ніж $3$.

І так далі, для будь-якого множника, який ви хочете використовувати замість $1$ або $3$. Як перевірка, в моделювання для$n=40$ Накреслені раніше, фактичні пропорції квадратних відстаней менше $1, 2, \ldots, 10$раз були$\frac{n-1}{n}\hat\sigma^2$

0.3932 0.6320 0.7767 0.8647 0.9178 0.9504 0.9700 0.9818 0.9890 0.9933

Теоретичні пропорції є

0.3935 0.6321 0.7769 0.8647 0.9179 0.9502 0.9698 0.9817 0.9889 0.9933

Угода відмінна.

---

Ось Rкод для проведення та аналізу моделювання.

f <- function(n, n.iter, x.min=0, x.max=Inf, plot=TRUE) {
  #
  # Generate `n.iter` experiments in which `n` locations are generated using
  # standard normal variates for their coordinates.
  #
  xy <- array(rnorm(n*2*n.iter), c(n.iter,2,n))
  #
  # Compute the squared distances to the centers for each experiment.
  #
  xy.center <- apply(xy, c(1,2), mean)
  xy.distances2 <- apply(xy-array(xy.center, c(n.iter,2,n)), c(1,3), 
                         function(z) sum(z^2))
  #
  # Optionally plot histograms.
  #
  if(plot) {
    xy.plot <- xy.distances2[xy.distances2 >= x.min & xy.distances2 <= x.max]

    hist(log(xy.plot), prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of log squared distance, n=", n),
         xlab="Log squared distance")
    curve(dchisq(n/(n-1) * exp(x), df=2) * exp(x) * n/(n-1), 
          from=log(min(xy.plot)), to=log(max(xy.plot)), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)

    hist(xy.plot, prob=TRUE, breaks=30,
         main=paste("Histogram of squared distance, n=", n),
         xlab="Squared distance")
    curve(n/(n-1) * dchisq(n/(n-1) * x, df=2), 
          from=min(xy.plot), to=max(xy.plot), 
          n=513, add=TRUE, col="Red", lwd=2)  
  }
  return(xy.distances2)
}
#
# Plot the histograms and compare to scaled chi-squared distributions.
#
par(mfrow=c(2,2))
set.seed(17)
xy.distances2 <- f(2, 10^5, exp(-6), 6)
xy.distances2 <- f(n <- 40, n.iter <- 50000, exp(-6), 12)
#
# Compare the last simulation to cumulative chi-squared distributions.
#
sigma.hat <- sqrt((n / (2*(n-1)) * mean(xy.distances2)))
print(cumsum(tabulate(cut(xy.distances2, 
                    (0:10) * (n-1)/n * sigma.hat^2))) / (n*n.iter), digits=4)
print(pchisq(1:10, df=2), digits=4)

Я думаю, що у вас є деякі речі трохи заплутані. Це правда, що відстань не може бути негативною, але це не впливає на розрахунок стандартного відхилення. Хоча це означає, що розподіл відстаней не може бути абсолютно нормальним, воно все одно може бути близьким; але навіть якщо його далеко не нормально, все ж є стандартне відхилення.

Крім того, немає «однобічного» стандартного відхилення - ви можете думати про тести гіпотез (які можуть бути односторонніми або двосторонніми). У своєму заголовку ви кажете, що середнє значення дорівнює 0, але середня відстань не буде дорівнює 0 (якщо кулі не знаходяться у стеку високою 40 куль!), А ви кажете, що є обмеження, якщо кулі будуть опущені приміщення, тоді вони не можуть бути далі від центру, ніж відстань до найближчої стіни. Але якщо деякі кульки не підстрибують до стіни, це не вплине на речі.

Отже, щойно у вас є 40 відстаней, ви обчислюєте стандартне відхилення (і середнє, середнє, міжквартирний діапазон тощо), використовуючи стандартні методи. Ви також можете зробити сюжети відстані (наприклад, квантильний звичайний сюжет, графічний графік), щоб побачити, чи він нормально розподілений (якщо це цікавить).

З того часу, як це було задано, минуло деякий час, але відповідь на питання полягає в тому, що це 2D-дистрибутив з назвою розподіл Релея. Тут припущення полягає в тому, що коефіцієнт форми Релея дорівнює як стандартним відхиленням координат X, так і Y. На практиці значення коефіцієнта форми обчислюється із сукупного середнього стандартного відхилення X та Y.

починаючи з

$$X \sim \mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$$ , і $$Y \sim \mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$$

використовувати звичайний біваріантний нормальний розподіл.

$$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x \sigma_y} \right] \right)$$

перевести в точку

$$(\mu_x, \mu_y)$$ і припустимо $$\rho = 0$$ .

Припустимо також, що

$$\sigma_x^2 = \sigma_y^2$$ тому замініть обидва на $$\sigma^2$$

то 2-D розподіл виражається радіусом навколо точки

$$(\mu_x, \mu_y)$$ який відомий як розподіл Релея .

$$PDF(r; \sigma) = \frac{r}{\sigma^2 } \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$ де $$\sigma = \sigma_x = \sigma_y$$ і $$r_i = \sqrt{(x_i - \mu_x)^2 + (y_i - \mu_y)^2}$$

$$CDF(r; \sigma) = 1 - \exp\left( - \frac{r^2}{2\sigma^2} \right)$$

Звичайно, це для постійного розподілу. Для зразка всього 40 кульок точного рішення немає. Вам потрібно буде зробити аналіз Монте-Карло із зразком 40 куль. Тейлор, MS та Grubbs, Френк Е. (1975). "Орієнтовні розподіли ймовірності для екстремального поширення" знайшли оцінки для розподілу Chi, а норма-log для цього відповідала б розподілу вибірки.

---

Правка - Незважаючи на сумніви Вубера, теоретичні пропорції, які він розраховував, такі:

0,3935 0,6321 0,7769 0,8647 0,9179 0,9502 0,9698 0,9817 0,9889 0,9933

Від функції CDF сукупні значення Sigma для r (у сигмах) рівні діапазону від:

0-1, 0-2, 0-3, ..., 0-10

є:

0,3935, 0,6321, 0,7769, 0,8647, 0,9179, 0,9502, 0,9698, 0,9817, 0,9889, 0,9933

Нормальний розподіл, як позитивні, так і негативні значення, має сенс, якщо ви визнаєте, що це нормальне розподіл за радіусом або "відстанню від центру". Інша змінна, кут, є випадковою і рівномірно розподілена від 0-пі