Двійкові моделі (Пробіт і Логіт) з логарифмічним зміщенням

Чи має хтось висновок про те, як офсет працює у бінарних моделях, таких як probit та logit?

У моїй проблемі вікно подальших дій може відрізнятися за довжиною. Припустимо, пацієнти отримують профілактичний знімок як лікування. Постріл відбувається в різний час, тому , якщо результат є двійковим індикатором того або стався спалах вам потрібно налаштувати на те , що деякі люди мають більше часу симптомів експоната. Здається, що ймовірність спалаху пропорційна тривалості періоду спостереження. Математично мені не зрозуміло, як двійкова модель із зміщенням захоплює цю інтуїцію (на відміну від Пуассона).

Зсув є стандартним варіантом і для Stata (с.1666), і для R , і я легко бачу це для Пуассона , але двійковий випадок трохи непрозорий.

Наприклад, якщо у нас є це алгебраїчно еквівалентно моделі, де що є стандартною моделлю з коефіцієнтом на обмеженим . Це називається логарифмічним зміщенням . У мене виникають проблеми з розумінням, як це працює, якщо ми замінимо на або .

\frac{E [y | x]}{Z} = \exp {x^{'} β},

$\begin{equation} \frac{E[y \vert x]}{Z}=\exp\{x'\beta\}, \end{equation}$

E [y | x] = \exp {x^{'} β + \log Z},

$\begin{equation}E[y \vert x]=\exp\{x'\beta+\log{Z}\}, \end{equation}$

\log Z

$\log Z$

1

$1$

\exp {}

$\exp\{\}$

Φ ()

$\Phi()$

Λ ()

$\Lambda()$

Оновлення №1:

Випадок logit був пояснений нижче.

Оновлення №2:

Ось пояснення того, що, як видається, є основним використанням компенсацій для таких моделей, які не мають пуассона, як пробіт. Зсув може бути використаний для проведення випробувань коефіцієнта ймовірності коефіцієнтів функцій індексу. Спочатку ви оцінюєте необмежену модель і зберігаєте оцінки. Скажіть, ви хочете перевірити гіпотезу, що . Тоді ви створюєте змінну , підходите до моделі, що скидає і використовуючи як нелогарифмічне зміщення. Це стримана модель. Тести LR порівнюють два і є альтернативою звичайному тесту Вальда. $\beta_x=2$ $z=2 \cdot x$ $x$ $z$

— Мастеров Дмитро Васильович
джерело

Відповіді:

Ви завжди можете включити зміщення в будь-який ГЛМ: це просто змінна прогноза, коефіцієнт якої фіксований на рівні 1. Пуассонова регресія, як правило, є дуже поширеним випадком використання.

Зауважте, що у біноміальній моделі аналог експозиції до журналу як зміщення є лише біноміальним знаменником, тому зазвичай не потрібно чітко вказувати це. Так само, як ви можете моделювати Р. Пуассона як лічильник з експозицією в журналі як зміщення, або як співвідношення з експозицією як вагою, ви можете аналогічно моделювати біноміальний RV як підрахунок успіхів і невдач або як частоту з випробуваннями як вага.

$\log Z$ $Z$ $p/(1-p)$

\begin{aligned} \log (p / (1 - p)) & = β^{'} X + \log Z \\ p / (1 - p) & = Z \exp (β^{'} X) \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{split} \log (p/(1-p)) &= \beta' \mathrm{X} + \log Z \\ p/(1-p) &= Z \exp(\beta' \mathrm{X}) \end{split}\end{equation}$

Але це не має особливого значення, як експозиція журналу в регресії Пуассона. Це означає, що якщо ваша біноміальна ймовірність є досить малою, логістична модель наблизиться до моделі Пуассона з логічним посиланням (оскільки знаменник на LHS наближається до 1), і зміщення може трактуватися як термін експозиції журналу.

(Проблема, описана у вашому пов'язаному питанні R, була досить ідіосинкратичною.)

— Hong Ooi
джерело

Pr (Y = 1 | X) = Φ (x^{'} β + \ln (t))

$\Pr(Y=1 \vert X)=\Phi(x'\beta+\ln(t))$

t

$t$

t

$t$

Це не ймовірність, а коефіцієнт шансів. Сподіваємось, редагування стає більш зрозумілим.

— Hong Ooi

Висловлення проблеми у співвідношенні шансів робить це дуже зрозумілим. Що з пробітом?

— Мастеров Дмитро Васильович

Я б не очікував, що це працює для probit або, принаймні, для чистої інтерпретації, оскільки не є канонічною ланкою, і бінарна залежна змінна з probit не потрапляє в експоненціальну сім'ю.

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

— Стаск

@StasK Це здається правильним, але чому тоді ці параметри існують у Stata та R? Що вони досягають?

— Мастеров Димитрій Вікторович

Переглянувши це як проблему часу до події, чи не вдасться логістична модель із зрушенням ln (time) ефективно покласти на вас параметричну функцію виживання, яка може або не може добре відповідати даним?

p / (1-p) = Z * exp (xbeta)

p = [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

Прогнозована виживаність за час Z = 1- [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

— Ерік
джерело