сума нецентральних Chi-квадратних випадкових величин

21

Мені потрібно знайти розподіл випадкової величини

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ де

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ і всі

X_{i}

$X_i$ s незалежні. Я знаю, що можна спочатку знайти добуток функцій, що генерують всі моменти для

X_{i}

$X_i$ s, а потім перетворити назад, щоб отримати розподіл

Y

$Y$ Однак мені цікаво, чи існує загальна форма для

Y

$Y$ як у випадку Гаусса: ми знаємо, що сума незалежного Гаусса все ще є гауссом, і тому нам потрібно лише знати підсумоване середнє та підсумоване відхилення.

Як щодо всього ? Чи стане ця умова загальним рішенням? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— підводний камінь
джерело

1

Дивлячись на перший абзац , наведений тут , явно кінцева умова дає масштабований нецентральний чі-квадрат (ділимо його на

(коефіцієнт масштабу, який ви виймаємо на передню частину ) і складаємо

у

). Більш загальна форма, яку ви розпочали з, виглядає як лінійна комбінація або середньозважена середня величина з коефіцієнтами

а не звичайна сума масштабованих квадратів ... і я вважаю, що зазвичай не буде потрібного розподілу.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Залежно від того, для чого вам це потрібно, у конкретних випадках ви можете зробити числову згортку чи моделювання.

— Glen_b -Встановити Моніку

Це узагальнено розподілом 'зваженої суми log-чі-квадратів до потужності'. Мій пакет R sadistsзабезпечує приблизні функції 'dpqr' для

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Як Glen_b зазначав у коментарях, якщо дисперсії все однакові, то ви закінчуєте масштабований нецентральний чи-квадрат.

Якщо ні, то існує поняття узагальненого розподілу chi-квадрата , тобто для та нерухомих. У цьому випадку, у вас є окремий випадок діагональних ( ), і . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Проведено певну роботу щодо обчислення речей за допомогою цього розподілу:

Імхоф (1961) і Девіс (1980) чисельно інвертують характерну функцію.
Шейл та О'Мюрчартае (1977) записують розподіл як нескінченну суму центральних змінних чи-квадратів.
Kuonen (1999) дає наближення сідлових точок до pdf / cdf.
Лю, Тан і Чжан (2009) наближають його до нецентрального розподілу чі-квадрата на основі кумулятивного зіставлення.

Ви також можете записати його як лінійну комбінацію незалежних нецентральних чи-квадратних змінних , у цьому випадку: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Кастаньо-Мартинес і Лопес-Блазкес (2005) дають розширення Лагерра для pdf / cdf.

Бауш (2013) дає більш обчислювально ефективний алгоритм лінійної комбінації центральних чи-квадратів; його робота може бути розширена до нецентральних хі-квадратів, і ви можете знайти цікаві вказівки у відповідному робочому розділі.

— Дугал
джерело

2

Порівняння методів апроксимації знайдено у Duchesne et al. 2010. Обчислювальна статистика та аналіз даних, 54, 858–862. Автори підтримують пакет R CompQuadForm з реалізаціями.

— каракал

-10

Це буде Chi-квадрат з n рівнями свободи.

— Ахмед
джерело

6

Я вважаю, ви не помітили, що

може бути ненульовим. Зауваження до питання, а також наявна відповідь є інформативними.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber