Зв'язок між діапазоном і стандартним відхиленням

У статті я знайшов формулу для стандартного відхилення розміру вибірки $N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

де - середній діапазон підпроб (розмір ) від основного зразка. Як число ? Це правильне число?$\overline{R}$$6$$2.534$

У вибірці з n незалежних значень з розподілу F з pdf f pdf спільного розподілу крайніх мін min ( x ) = x [ 1 ] і max ( x ) = x [ n ] пропорційний$x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

(Константа пропорційності - це зворотний коефіцієнт багаточлену . Інтуїтивно цей спільний PDF виражає шанс знайти найменше значення в діапазоні[x[1],x[1]+dx[1]), найбільшому значенні в діапазоні[x[n],x[n]+dx[n]$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$, а середнє значення між ними в межах [ x [ 1 ] + d x [ 1 ] , x [ n ] ) . Коли F безперервний, ми можемо замінити це середнє діапазон на ( x [ 1 ] , x [ n ] ] , тим самим нехтуючи лише "нескінченно малою" величиною ймовірності. Асоційовані ймовірності до першого порядку в диференціалах - f ( x [ 1 $n-2$$[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$f ( x [ n ] ) d x [ n ] , і F ( x [ n ] ) - F ( x [ 1 ] ) , відповідно, очевидно, звідки походить формула.)$f(x_{[1]})dx_{[1]},$ $f(x_{[n]})dx_{[n]},$$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$

Беручи очікування діапазону дає 2.53441 сг для будь-якого нормального розподілу зі стандартним відхиленням сг і п = 6 . Очікуваний діапазон, кратний σ, залежить від розміру вибірки n :$x_{[n]} - x_{[1]}$$2.53441\ \sigma$$\sigma$$n=6$$\sigma$$n$

Ці значення обчислювались шляхом чисельної інтеграції над{(x,y)∈R2| x≤y}, причомуFвстановлено на стандартний нормальний CDF, і ділиться на стандартне відхиленняF(що становить лише1).$\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$$F$$F$$1$

Аналогічна мультиплікативна залежність між очікуваним діапазоном і стандартним відхиленням буде мати місце для будь-якого сімейства розподілів масштабу локації, оскільки це властивість форми лише розподілу. Наприклад, ось порівняльна ділянка для рівномірного розподілу:

та експоненціальні розподіли:

Значення на попередніх двох графіках були отримані точним - не числовим - інтегруванням, що можливо завдяки відносно простим алгебраїчним формам і F у кожному випадку. Для рівномірних розподілів вони дорівнюють n - $f$$F$ а для експоненціальних розподілів вониγ+ψ(n)=γ+ Γ ′ ( n $\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$ деγ- константа Ейлера, аψ- функція "полігама", логарифмічна похідна функції Гамма Ейлера.$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$$\psi$

Хоча вони і відрізняються (оскільки ці розподіли відображають широкий діапазон фігур), три приблизно узгоджуються навколо , показуючи, що множник 2,5 не сильно залежить від форми і тому може служити всебічною, надійною оцінкою стандартного відхилення коли відомі діапазони невеликих підпроб. (Дійсно, дуже важкий розподіл студента t з трьома ступенями свободи все ще має множник приблизно 2,3 для n = 6 , зовсім не 2,5 ).$n=6$$2.5$$t$$2.3$$n=6$$2.5$

Це наближення дуже близьке до справжнього стандартного відхилення вибірки. Я написав швидкий сценарій R, щоб проілюструвати це:

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

який дає:

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

Зараз я не впевнений (поки), чому це працює, але, принаймні, схоже (за номіналом), що наближення є гідним.

Редагувати: Дивіться винятковий коментар @ Whuber (вище) про те, чому це працює