Формула ймовірності багатоваріантного розподілу Бернуллі

13

Мені потрібна формула ймовірності події в n-змінному розподілі Бернуллі із заданим ймовірністю для одного елемента і для пар елементів . Еквівалентну я міг би дати середнє значення і ковариация . $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

Я вже дізнався, що існує багато розподілів, що мають властивості так само, як і багато розподілів, що мають задане середнє значення та коеваріантність. Я шукаю канонічного на , подібно до того, як Гаусс - це канонічний розподіл для та заданого середнього значення та коваріації. $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
джерело

11

Випадкова величина, що приймає значення в - дискретна випадкова величина. Його розподіл повністю описано ймовірностями з . Ймовірності та ви даєте, - це суми для певних індексів . $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

Тепер, здається, ви хочете описати , використовуючи лише та . Це неможливо без припущення певних властивостей на . Для того, щоб побачити , що спробувати вивести характеристичної функції з . Якщо взяти отримаємо $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$ Неможливо змінити цей вираз так, щоб зник. Для гауссової випадкової величини характерна функція залежить лише від середніх та коваріаційних параметрів. Характерні функції однозначно визначають розподіли, тому Гауссана можна однозначно описати, використовуючи лише середнє значення та коваріацію. Як ми бачимо для випадкової змінної це не так.

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$

X

$X$

— mpiktas
джерело

10

Дивіться наступний документ:

JL Teugels, Деякі уявлення про багатоваріантні розподіли Бернуллі та біноми , Журнал багатоваріантного аналізу , т. 32, ні. 2, лютий 1990, 256–268.

Ось реферат:

Багатоваріантні, але векторизовані версії для розподілу Бернуллі та біноміальних розподілів встановлюються з використанням концепції продукту Kronecker з матричного числення. Багатоваріантний розподіл Бернуллі тягне за собою параметризовану модель, яка надає альтернативу традиційній логічно-лінійній моделі для бінарних змінних.

— Хамед
джерело

2

Дякую, що поділилися цим, Хамеде. Ласкаво просимо на наш сайт!

— whuber

1

Я не знаю, як називається отриманий розподіл, або якщо він навіть має ім'я, але мені здається, що очевидним способом встановити це є думка про модель, яку ви використали б для моделювання 2 × 2 × 2 × … × 2 таблиці за допомогою лінійної журнальної (пуассонової регресії) моделі. Як ви знаєте лише взаємодії першого порядку, природно вважати, що всі взаємодії вищого порядку дорівнюють нулю.

Використовуючи позначення запитувача, це дає модель:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— одна зупинка
джерело

Ця формула має нотаційні проблеми: ліворуч та праворуч є . Права сторона взагалі не посилається на підписник . Крім того, все-таки інтерпретуючи як ймовірності (як в оригінальному запитанні), rhs явно є позитивним, тоді як lhs не може бути позитивним.

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

— whuber

@whuber Цілком правильно! Я дотримуюся тієї моделі, яку я виклав у першому пункті, але моє рівняння було розкручено декількома способами ... Показує, що я фактично не використовував лінійно-лінійне моделювання таблиць на випадок з мого MSc, і я не отримали в руки записки чи книги. Я вважаю, що я все це виправив. Повідомте мене, якщо ви згодні! Аполі за затримку. Деяких днів мій мозок просто не робить алгебри.

— onestop

1

Я не думаю, що це працює. Припустимо, і . Це правильне поєднання ймовірностей, реалізованих коли рівномірна випадкова величина і і все . І все-таки вищевказана формула буде 0 для всіх подій. Ще дякую за допомогу!

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$