Як зрозуміти формулу коефіцієнта кореляції?

Чи може хто-небудь допомогти мені зрозуміти формулу кореляції Пірсона? зразок $r$ = середнє з продуктів стандартних оцінок змінних $X$ і $Y$ .

Я начебто розумію, чому їм потрібно стандартизувати $X$ і $Y$ , але як зрозуміти продукти обох результатів z?

Ця формула також називається "коефіцієнт кореляції продукту-моменту", але яка обгрунтування дії продукту? Я не впевнений, чи зрозумів я своє питання, але просто хочу запам'ятати формулу інтуїтивно.

У коментарях запропоновано 15 способів зрозуміти коефіцієнт кореляції:

• "Тринадцять способів поглянути на коефіцієнт кореляції" (Rodgers & Nicewander 1988)
• Через коваріацію
• Через кола

13 способів, про які йдеться у статті про Роджерса та Ніцвандера (американський статистик, лютий 1988 р.)

1. Функція сировинних балів та засобів,

   $$r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$$

2. Стандартизована коваріація,

   $$r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$$

   де - коваріація вибірки, а s X і s Y - стандартні відхилення вибірки.$s_{XY}$$s_X$$s_Y$

3. Стандартизований нахил лінії регресії,

   $$r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$$

   де і b X ⋅ Y - нахили ліній регресії.$b_{Y\cdot X}$$b_{X \cdot Y}$

4. Геометричне значення двох регресійних схилів,

   $$r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$$

5. Квадратний корінь співвідношення двох варіацій (доля змінної враховується),

   $$r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$$

6. Середній перехресний продукт стандартизованих змінних,

   $$r = \sum z_X z_Y / N.$$

7. Функція кута між двома стандартизованими регресійними лініями. Дві регресійні лінії ( проти X і X проти Y ) симетричні щодо діагоналі. Нехай кут між двома прямими буде β . Потім$Y$$X$$X$$Y$$\beta$

   $$r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$$

8. Функція кута між двома змінними векторами,

   $$r = \cos(\alpha).$$

9. Налаштована різниця різниці між стандартизованими балами. Нехай - різниця між стандартизованими змінними X і Y для кожного спостереження,$z_Y - z_X$$X$$Y$

   $$r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$$

10. Оцінено за правилом "Повітряна куля",

    $$r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$$

    де - вертикальний діапазон усього розсіювання X - Y, а h - діапазон через "центр розподілу по осі X " (тобто через точку значень).$H$$X-Y$$h$$X$

11. Що стосується двовимірних еліпсів ізоконцентрації,

    $$r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$$

    де і d - основна і незначна довжини осі відповідно. r також дорівнює нахилу дотичної лінії ізоконтара (у стандартизованих координатах) у точці контуру перетинає вертикальну вісь.$D$$d$$r$

12. Функція статистики тестів із розроблених експериментів,

    $$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$$

    де - статистика випробувань у двох незалежних зразках t тесту для розробленого експерименту з двома умовами лікування (кодується як X = 0 , 1 ) і n - загальна кількість спостережень у двох групах лікування.$t$$t$$X=0, 1$$n$

13. Співвідношення двох засобів. Припустимо біваріантну нормальність і стандартизуємо змінні. Виберіть яке завгодно велике значення в X . Потім$X_c$$X$

    $$r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$$

(Більшість із них є дослівними, із незначними змінами в деяких нотаціях.)

Деякі інші методи (можливо, оригінальні для цього сайту) є

• $r$

• $r$