Гамма проти лонормальних розподілів

У мене експериментально спостерігається розподіл, який дуже схожий на гамма або лонормальне розподіл. Я читав, що лонормальний розподіл - це максимальний розподіл ймовірності ентропії для випадкової величини для якої фіксовано середнє значення та дисперсію . Чи має розподіл гамми подібні властивості?$X$$\ln(X)$

Що стосується якісних відмінностей, то лонормальне та гамма, як ви кажете, досить схожі.

Дійсно, на практиці вони часто використовуються для моделювання одних і тих же явищ (деякі люди використовуватимуть гаму, де інші використовують лонормальне). Вони обидві, наприклад, моделі з постійним коефіцієнтом варіації (CV для лонормального - , для гами це1/$\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ ).$1/\sqrt \alpha$

[Як це може бути постійним, якщо це залежить від параметра, запитаєте ви? Він застосовується під час моделювання масштабу (розташування для шкали журналу); для лонормального значення виступає параметром масштабу, тоді як для гамми - масштаб - це параметр, який не є параметром форми (або його взаємним, якщо ви використовуєте параметризацію швидкості форми). Я назву параметр масштабу для розподілу гами β . Gamma GLMs моделюють середнє значення ( μ = α β ), утримуючи α постійну; у цьому випадку μ є також параметром масштабу. Модель із змінною μ та постійною α або σ відповідно матиме постійний CV.]$\mu$$\beta$$\mu=\alpha\beta$$\alpha$$\mu$$\mu$$\alpha$$\sigma$

Вам може бути доцільним дивитися на щільність їхніх журналів , що часто показує дуже чітку різницю.

Журнал лонормальної випадкової величини ... нормальний. Це симетрично.

Журнал гамма-випадкової змінної є лівим перекосом. Залежно від значення параметра фігури, він може бути досить перекошеним або майже симетричним.

Ось приклад: і лонормальне, і гамма мають середнє значення 1 і дисперсію 1/4. Верхній графік показує щільність (гама зеленого кольору, лонормальна синім кольором), а нижній - щільність колод:

(Структурування журналу щільності журналів також корисно. Тобто, взяття шкали журналу на вісь y вище)

З цієї різниці випливає, що гамма має більше хвоста зліва і менше хвоста справа; крайній правий хвіст лонормального важчий, а лівий хвіст - легший. І справді, якщо дивитися на косий, лонормальний і гамма, для заданого коефіцієнта варіації, то лонормальне є більш правим перекосом ( ), ніж гамма ( 2 CV ).$\text{CV}^3+3\text{CV}$$2\text{CV}$

$E(X)$$E(\log X)$

Щоб відповісти на ваше запитання щодо фізичних процесів, які генерують ці розподіли: Лонормальний розподіл виникає, коли логарифм X зазвичай розподіляється, наприклад, якщо X є продуктом дуже багатьох малих факторів. Якщо X розподілено гаммою, це сума багатьох експоненціально розподілених змінних. Наприклад, час очікування багатьох подій процесу Пуассона.