Як я можу знайти ймовірність помилки II типу?

Я знаю, що помилка типу II - це істинна H1, але H0 не відхиляється.

Питання

Як я обчислюю ймовірність помилки типу II, пов’язаної з нормальним розподілом, де відоме стандартне відхилення?

probability power-analysis type-i-and-ii-errors

Дивіться статтю у Вікіпедії "Статистична потужність"

— onestop

Я б переформулював це питання як "як я знаходжу силу загального тесту, такого як проти ?" Це часто тест, який частіше виконується. Я не знаю, як можна було б обчислити силу такого тесту.

H_{0} : μ = μ_{0}

$H_{0}:\mu=\mu_{0}$

H_{1} : μ > μ_{0}

$H_{1}:\mu > \mu_{0}$

— ймовірністьлогічний

Крім того, щоб вказати (ймовірність помилки I типу), вам потрібна повністю визначена пара гіпотез, тобто , та повинні бути відомі. (ймовірність помилки II типу) дорівнює . Я припускаю односторонню . В R: $\alpha$ $\mu_{0}$ $\mu_{1}$ $\sigma$ $\beta$ $1 - \textrm{power}$ $H_{1}: \mu_{1} > \mu_{0}$

> sigma <- 15    # theoretical standard deviation
> mu0   <- 100   # expected value under H0
> mu1   <- 130   # expected value under H1
> alpha <- 0.05  # probability of type I error

# critical value for a level alpha test
> crit <- qnorm(1-alpha, mu0, sigma)

# power: probability for values > critical value under H1
> (pow <- pnorm(crit, mu1, sigma, lower.tail=FALSE))
[1] 0.63876

# probability for type II error: 1 - power
> (beta <- 1-pow)
[1] 0.36124

Правка: візуалізація

введіть тут опис зображення

xLims <- c(50, 180)
left  <- seq(xLims[1],   crit, length.out=100)
right <- seq(crit, xLims[2],   length.out=100)
yH0r  <- dnorm(right, mu0, sigma)
yH1l  <- dnorm(left,  mu1, sigma)
yH1r  <- dnorm(right, mu1, sigma)

curve(dnorm(x, mu0, sigma), xlim=xLims, lwd=2, col="red", xlab="x", ylab="density",
      main="Normal distribution under H0 and H1", ylim=c(0, 0.03), xaxs="i")
curve(dnorm(x, mu1, sigma), lwd=2, col="blue", add=TRUE)
polygon(c(right, rev(right)), c(yH0r, numeric(length(right))), border=NA,
        col=rgb(1, 0.3, 0.3, 0.6))
polygon(c(left,  rev(left)),  c(yH1l, numeric(length(left))),  border=NA,
        col=rgb(0.3, 0.3, 1, 0.6))
polygon(c(right, rev(right)), c(yH1r, numeric(length(right))), border=NA,
        density=5, lty=2, lwd=2, angle=45, col="darkgray")
abline(v=crit, lty=1, lwd=3, col="red")
text(crit+1,  0.03,  adj=0, label="critical value")
text(mu0-10,  0.025, adj=1, label="distribution under H0")
text(mu1+10,  0.025, adj=0, label="distribution under H1")
text(crit+8,  0.01,  adj=0, label="power", cex=1.3)
text(crit-12, 0.004,  expression(beta),  cex=1.3)
text(crit+5,  0.0015, expression(alpha), cex=1.3)

— каракал
джерело

Чи є друкарська помилка у цій відповіді? Я думаю, що те, що називається це насправді і навпаки. Так чи інакше, це відмінний графік і приклад R-коду!

pow

$\texttt{pow}$

β

$\beta$

— jdods

@jdods Дійсно, lower.tail=FALSEпропав безвісти. Дуже дякую!

— каракал

@caracal чи могли б ви пояснити, в терміні ~ непростого, чому ми можемо обчислити p-значення (ризик помилки 1 типу) без врахування бета-версії, але нам потрібно вказати альфа, щоб можна було виміряти ризик помилки 2 типу? Я відчуваю, що мені чогось не вистачає. Дякую за відмінну відповідь.

— Cystack

@Cystack Точне значення p-значення, помилка типу 1, помилка типу 2 виходять за рамки того, що може бути передано в коментарі. Я почав би переглядати відповіді на такі питання, як stats.stackexchange.com/q/46856/1909 або stats.stackexchange.com/q/129628/1909 , також побачити вікна "Пов'язані" та "Пов'язані" у верхньому правому куті для більш релевантного вмісту.

— каракал

Щоб доповнити відповідь каракала, якщо ви шукаєте зручний для користувача варіант GUI для обчислення частоти помилок або потужності типу II для багатьох поширених конструкцій, включаючи ті, які передбачаються вашим запитанням, ви можете перевірити вільне програмне забезпечення, G Power 3 .

— Джеромі Англім
джерело