Для яких розподілів непов'язаність означає незалежність?

Почесне нагадування в статистиці - "некорельованість не означає незалежності". Зазвичай це нагадування доповнюється психологічно заспокійливим (і науково правильним) твердженням "коли, однак, дві змінні спільно нормально розподіляються , то некорельованість означає незалежність".

Я можу збільшити кількість щасливих винятків з одного до двох: коли дві змінні розподілені Бернуллі , то знову ж таки, некорельованість передбачає незалежність. Якщо і - два бермуллі rv, $X$ $Y$ , для якого маємо , і аналогічно , їх коваріація дорівнює $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

Для некорельованості ми вимагаємо, щоб коваріація дорівнювала нулю

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

яка умова також необхідна для незалежності змінних.

Отже, моє запитання: чи знаєте ви про будь-які інші розподіли (безперервні чи дискретні), для яких некорельованість передбачає незалежність?

Значення: Припустимо дві випадкові величини які мають граничні розподіли, які належать до одного і того ж розподілу (можливо, з різними значеннями для відповідних параметрів розподілу), але скажімо, з однаковою підтримкою, наприклад. дві експоненціалі, дві трикутники і т. д. Чи всі рішення рівняння такі, що вони також передбачають незалежність в силу форми / властивостей функцій розподілу? Це стосується нормальних маргіналів (враховуючи також, що вони мають двобічне нормальне поширення), а також з маргіналами Бернуллі - чи є інші випадки? $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

Мотивація тут полягає в тому, що зазвичай простіше перевірити, чи є коваріація нульовою, порівняно з тим, щоб перевірити, чи існує незалежність. Отже, якщо, зважаючи на теоретичний розподіл, перевіряючи коваріантність, ви також перевіряєте незалежність (як це стосується Бернуллі чи звичайного випадку), то це було б корисно знати.
Якщо нам дають два зразки з двох rv, які мають нормальні межі, ми знаємо, що якщо ми можемо статистично зробити висновок із зразків, що їх коваріація дорівнює нулю, ми можемо також сказати, що вони незалежні (але лише тому, що мають нормальні межі). Було б корисно знати, чи можна було б зробити висновок так само у випадках, коли у двох rv були маргінали, які належали до якогось іншого розподілу.

— Алекос Пападопулос
джерело

Логічно тут немає жодного питання: візьміть будь-яку пару незалежних змінних як розподіл. Пов`язані вони чи ні, вони незалежні фіат ! Вам дійсно потрібно бути більш точним щодо того, що ви маєте на увазі під "розповсюдженням" та які відповіді вам будуть корисні.

— whuber

@whuber Я не розумію твій коментар. Я починаю з неспорідненості і запитую "чи можу я довести, що вони некорельовані, коли це означає, що вони також незалежні"? Оскільки два результати, зазначені у запитанні, залежать від конкретного розподілу rv (нормального чи Бернуллі), я запитую: "чи існує інше відоме розподіл, для якого, якщо дві змінні слідують за ним, ці результати відповідають"?

— Алекос Пападопулос

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

@Whuber, ти, мабуть, маєш рацію. Я додав текст, пов'язаний з мотивацією цього питання, який, сподіваюся, роз'яснює, якою була моя мотивація.

— Алекос Пападопулос

З якою інформацією ви починаєте, приймаючи це рішення? З формулювання вашого прикладу, схоже, вам надається граничний pdf для кожної змінної та інформація про те, що кожна пара змінних є некорельованою. Потім ви вирішите, чи вони також незалежні. Це точно?

— ймовірністьлогічний

"Тим не менш, якщо обидві змінні зазвичай розподіляються, то некорельованість дійсно означає незалежність" є дуже поширеною помилкою .

Це стосується лише тих випадків, коли вони спільно нормально розподіляються.

$X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ $Z$

$X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) G_{Y} (y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

$F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— Срібна рибка
джерело

Справді. Я забув "спільну".

— Алекос Пападопулос

@Alecos Оскільки граничні розподіли взагалі не визначають спільний розподіл (я просто відредагував мою відповідь, щоб зробити це зрозумілим), де це питання залишає ваше питання?

— Срібна рибка

@Alecos Я думаю, я зараз краще розумію суть питання: з огляду на два граничні розподіли, існує нескінченний набір можливих спільних розподілів. За яких обставин встановлення умови нульової коваріації залишає нам лише один із цих спільних розподілів, а саме той, у якому випадкові величини незалежні?

— Срібна рибка

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

@Silverman Я перевірив би поняття субінезалежності , en.wikipedia.org/wiki/Subindependence , щоб побачити, чи можна цю проблему сформулювати з точки зору функцій, що генерують моменти.

— Алекос Пападопулос