Необхідна і достатня умова спільного МФР для незалежності

Припустимо, у мене є спільна функція генерування моменту для спільного розподілу з CDF . Чи є необхідною і достатньою умовою незалежності і ? Я перевірив пару підручників, в яких згадувалась лише необхідність: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Цей результат зрозумілий, оскільки незалежність означає . Оскільки MGF-поля маргіналів визначаються спільним MGF, ми маємо: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Але після пошуку в Інтернеті я знайшов лише швидкоплинне посилання, без доказів, на зворотне . Чи під силу наступний ескіз?

Враховуючи спільний MGF , це однозначно визначає граничні розподіли і та їх , і . Маргінали самі по собі сумісні з багатьма іншими можливими спільними розподілами і однозначно визначають спільний розподіл, у якому і незалежні, при цьому CDF та MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Отже, якщо для нашого оригінального MGF нам дано, що , це достатньо, щоб показати . Тоді за унікальністю MGF, наш оригінальний спільний розподіл має і і незалежні. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Срібна рибка
джерело

Так, це необхідна і достатня умова незалежності не лише двох випадкових змінних, але і (кінцевої) послідовності випадкових змінних. Ознайомтеся, наприклад, з P.2 на сторінці 242 Про ймовірність зі статистичними додатками Рінальдо Б. Шиназі. Або сторінка 259 Економетричного аналізу даних лічильника, яка базується на функції генерування ймовірностей. Зауважте лише, що "функція, що генерує момент, не завжди існує".

— Стат
джерело

Дякую за тверді відгуки. Так, уважно заявляв, що оригінальний MGF був наданий на початку, і намагався пам'ятати, щоб продемонструвати, що будь-який інший MGF, про який я згадував, існує як наслідок, перш ніж я щось з цим робив! Які стратегії доказування були використані у ваших запитах?

— Срібна рибка

Ви читали абзац одразу після Р2 у моїй першій посилання?

— Стат

Ага так - це поширення мого запропонованого доказу на вектори. Порівняйте MGF даного розподілу з MGF, щоб компоненти були незалежними; оскільки вони однакові і MGF однозначно визначають спільний розподіл, спільний розподіл є незалежним.

— Срібна рибка