Я хочу показати

10

Нехай $X:\Omega \to \mathbb N$ - випадкова величина на ймовірнісному просторі $(\Omega,\mathcal B,P)$ Покажіть, що

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

моє визначення з $E(X)$ дорівнює

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Дякую.

probability self-study expected-value

— подвійний амбагер
джерело

Гммм, може, ви хочете додати, що

X \geq 0

$X\geq 0$ ... ні?

— Стати

@Stat: ні,

.

природний. Розглянемо

завжди рівним 2.

.

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— січня

ой, не бачив

!

N

$N$

— Стати

1

Твердження (злегка) неправильне: оскільки

включає

, підсумовування повинно починатися з

замість

.

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber Ні, сума повинна починатися з

(спробуйте випадок, коли

).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— Чи

12

Визначення $E(X)$ для дискретного $X$ дорівнює $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$ .

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Тому

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(переставляємо терміни в останньому виразі)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

qed

— Січень
джерело

4

Ви повинні дати корисні підказки для тегів для самостійного вивчення, а не повну відповідь. Краще не вирішувати їх завдання :)

— Стат.

1

Чи не потрібно пояснювати, чому ви можете замовити суму? це було б важливо, якщо ви шукаєте сувору демонстрацію.

— Мануель

X

$X$

X

$X$

1

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

@ whuber.Я згоден і отримав це. і дякую від усіх.

— особистий амбагер

11

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— Дзен
джерело

Ви вважаєте, що X дискретний?

— BCLC

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

3

Я думаю, що стандартним способом цього є написання

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

а потім зворотний порядок очікування та суми (за теоремою Тонеллі)

— seanv507
джерело

X

$X$

1

@BCLC Перший рядок істинний, лише якщо X - це натуральне число, тому воно не є правильним ....

— seanv507

1

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Приймаючи тоді ви отримуєте корисний результат: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Варто зазначити, що цей результат сильніший за правило очікування у питанні, оскільки він дає декомпозицію для основної випадкової величини, а не лише її моменту. Як зазначається в іншій відповіді, прийняття очікувань обох сторін цього рівняння та застосування теореми Тонеллі (поміняти порядок операторів суми та очікування) дає правило очікування у питанні. Це стандартне правило очікування, яке використовується при роботі з негативними випадковими змінними.

Вищенаведений результат можна довести досить просто. Почніть з того, що:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Тому для будь-якого ми маємо: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Бен - Відновлення Моніки
джерело