Це дуже основне питання. Чому ми використовуємо розподіл квадратних чі? У чому сенс цього розподілу? Чому саме цей розподіл використовується для створення довірчого інтервалу для дисперсії?

Кожне місце, де я шукаю Google для пояснення, просто представляє це факт, пояснюючи, коли потрібно використовувати чі, але не пояснюючи, чому потрібно використовувати чі, і чому це виглядає так, як це робиться.

Дякую всім, хто може вказати мені на правильний напрямок, і це - справді розуміючи, чому я використовую чі, коли створюю інтервал довіри для дисперсії.

variance chi-squared

— нафртіті
джерело

Ви використовуєте його, тому що - коли дані нормальні - . (Це робить головною кількістю)

Q = (n - 1) \frac{s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$Q = (n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$

Q

$Q$

— Glen_b -Встановіть Моніку

Дивіться також stats.stackexchange.com/questions/15711/… та його посилання.

— Нік Кокс

Для тих, хто зацікавлений у застосуванні або подальшому дослідженні

χ^{2}

$\chi^2$ , ви хочете звернути увагу на відмінність розподілу

χ^{2}

$\chi^2$ ("chi-квадрат") і розподілу

χ

$\chi$ ("chi") (це квадратний корінь

χ^{2}

$\chi^2$ , не дивно).

— whuber

Швидка відповідь

Причина полягає в тому, що, якщо припустити, що дані iid і $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ , і визначають

\begin{array}{rcl} \bar{Х} & = & \sum^{N} \frac{Х_{i}}{N} \\ S^{2} & = & \sum^{N} \frac{(\bar{Х} - Х_{i})^{2}}{N - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$ при формуванні довірчих інтервалів розподіл вибірки, пов'язаний з дисперсією вибірки (

S^{2}

$S^2$ , пам'ятайте, випадкова величина!) - розподіл chi-квадрата (

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$ ) так само, як розподіл вибірки, пов'язаний із середньою вибіркою, є стандартним нормальним розподілом (

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / σ \sim Z (0, 1)

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$ ), коли ви знаєте дисперсію, а з t-студентом, коли ви цього не робите (

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / S \sim T_{n - 1}

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$ ).

Довга відповідь

Перш за все, ми доведемо, що слідує за розподілом chi-квадрата з ступенем свободи. Після цього ми побачимо, наскільки цей доказ корисний при виведенні довірчих інтервалів для дисперсії та як з'являється розподіл chi-квадрата (і чому він такий корисний!). Давайте почнемо. $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$

Доказ

Для цього, можливо, ви повинні звикнути до розподілу хі-квадратів у цій статті Вікіпедії . Цей розподіл має лише один параметр: ступеня свободи, , і, мабуть, має функцію, що генерує момент (MGF), задану: Якщо ми можемо показати, що розподіл має функцію породження моменту, як ця, але при $\nu$

m_{χ_{ν}^{2}} (t) = (1 - 2 t)^{- ν / 2} .

$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

, то ми показали, що

слідує за розподілом chi-квадрата з

ступенями свободи. Для того, щоб показати це, зверніть увагу на два факти:

ν = N - 1

$\nu=N-1$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

Якщо визначимо, де, тобто стандартних нормальних випадкових величин, функція генерації моментузадається
$Y = \sum \frac{(X_{i} - \bar{X})^{2}}{σ^{2}} = \sum Z_{i}^{2},$ $\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$ $Z_i\sim N(0,1)$ $Y$ MGFзадається $\begin{array}{rcl} m_{Y} (t) & = & E [e^{t Y}] \\ = & E [e^{t Z_{1}^{2}}] \times E [e^{t Z_{2}^{2}}] \times . . . E [e^{t Z_{N}^{2}}] \\ = & м_{Z_{i}^{2}} (т) \times м_{Z_{2}^{2}} (т) \times . . . м_{Z_{N}^{2}} (т) . \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$ $Z^2$ де використовували PDF стандартного нормального, $\begin{array}{rcl} m_{Z^{2}} (t) & = & \int_{- \infty}^{\infty} f (z) \exp (t z^{2}) d z \\ = & (1 - 2 t)^{- 1 / 2}, \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$ і, отже, чоговипливає, щослідує за розподілом чі-квадрата зступенями свободи. $f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ $m_{Y} (t) = (1 - 2 t)^{- N / 2},$ $\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$ $Y$ $N$
$Y_1$ $Y_2$ $\nu_1$ $\nu_2$ $W=Y_1+Y_2$ $\nu_1+\nu_2$ $W$

$N-1$

(N - 1) S^{2} = - н (\bar{Х} - мк) + \sum (Х_{i} - мк)^{2},

$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{(N - 1) S^{2}}{σ^{2}} + \frac{(\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2} / N} = \sum \frac{(X_{i} - μ)^{2}}{σ^{2}} .

$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$

N

$N$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$

Розрахунок інтервалу довіри для дисперсії.

$L_1$ $L_2$

P (L_{1} \leq σ^{2} \leq L_{2}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)$

\frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} .

$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}, \\ \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$

P (\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$

\begin{array}{rcl} \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}}^{N - 1} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2, \\ \int_{N - 1}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$

N - 1

$N-1$

N - 1

$N-1$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2, \\ \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}}^{\infty} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2. \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$ Calling

χ_{α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}

$\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$ and

χ_{1 - α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}

$\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$ , where the values

χ_{α / 2}^{2}

$\chi^2_{\alpha/2}$ and

χ_{1 - α / 2}^{2}

$\chi^2_{1-\alpha/2}$ can be found in chi-square tables (in computers mainly!) and solving for

L_{1}

$L_1$ and

L_{2}

$L_2$ ,

\begin{array}{rcl} L_{1} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \\ L_{2} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$ Hence, your confidence interval for the variance is

C . I . = (\frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}}) .

$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$

— Néstor
джерело

Simply because

S^{2}

$S^2$ does not follow a centered chi-square distribution, while

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$ does and, therefore, its easier to work with. Are you asking for a derivation for that? (i.e., you want someone to show you that

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$ follows a chi-square distribution with

N - 1

$N-1$ degrees of freedom?)

— Нестор

Було б корисно змінити цю відповідь, щоб включити дуже сильне, але нестандартне припущення, що дисперсія вибірки слідує за розподілом у квадраті, коли базові дані є незалежними та слідують за нормальним розподілом. На відміну від теорії розподілу середнього зразка, коли на практиці його розподіл вибірки буде приблизно нормальним до розумної точності у багатьох ситуаціях, ця ж асимптотична поведінка має тенденцію не відбуватися з дисперсією вибірки (поки розміри вибірки не стануть надзвичайно великими).

— whuber

На жаль Так, так правда! Це насправді випливало з вирішення проблеми, яке я роздав деяким студентам, де я висловлюю питання про всі ці припущення. Зараз я відредагував відповідь.

— Нестор

@ user34756 Причина, по якій ми не використовуємо розповсюдження

S^{2}

$S^2$ безпосередньо полягає в тому, що його розподіл залежить від значення параметра. Вам може бути корисним дослідити використання основної величини при побудові довірчих інтервалів.

— Glen_b -Встановити Моніку

Чи ні

f (z) = e^{- z^{2} / 2}

$f(z) = e^{-z^2/2}$ замість

f (z) = e^{- z^{2}}

$f(z) = e^{-z^2}$ ?

— Benoît Legat

Чому квадрат chi використовується при створенні інтервалу довіри для дисперсії?

Швидка відповідь

Довга відповідь

Доказ

Розрахунок інтервалу довіри для дисперсії.