Як порівняти середнє значення двох зразків, дані яких відповідають експоненціальним розподілам

У мене є два зразки даних, базовий зразок та зразок лікування.

Гіпотеза полягає в тому, що зразок для лікування має більш високе середнє значення, ніж базовий зразок.

Обидва зразки мають експоненціальну форму. Оскільки дані досить великі, я маю лише середнє значення та кількість елементів для кожного зразка в той час, коли я буду запускати тест.

Як я можу перевірити цю гіпотезу? Я здогадуюсь, що це дуже просто, і я натрапив на кілька посилань на використання F-Test, але я не впевнений, як параметри відображаються.

Можна перевірити рівність середніх параметрів проти альтернативи, що середні параметри нерівні з тестом коефіцієнта ймовірності (тест LR). (Однак, якщо середні параметри різняться, а розподіл експоненціальний, це зсув масштабу, а не зсув місця розташування.)

Для тесту з однохвостими (але лише асимптотичним у двох хвостових випадках) я вважаю, що тест LR виявляється еквівалентним наступному (щоб показати, що це насправді те саме, що тест LR для однохвостих У випадку, коли потрібно було б показати, що статистика LR була монотонною у ):$\bar x/\bar y$

Скажімо, ми параметризуємо е спостереження в першому експоненціалі як pdf 1 / μ x exp ( - x i / μ x ), а j- е спостереження у другому зразку як pdf 1 / μ y exp ( - y j / μ y ) (над очевидними областями спостережень та параметрів). (Щоб було зрозуміло, ми працюємо у середній формі, а не у формі ставки тут; це не вплине на результат розрахунків.)$i$$1/\mu_x \exp(-x_i/\mu_x)$$j$$1/\mu_y \exp(-y_j/\mu_y)$

Оскільки розподіл є окремим випадком гамма, Γ ( 1 , μ х ) , розподіл суми X «S, S х розподілена Г ( п х , μ х ) ; аналогічно, що для суми Y s, S y дорівнює Γ ( n y , μ y ) .$X_i$$\Gamma(1,\mu_x)$$X$$S_x$$\Gamma(n_x,\mu_x)$$Y$$S_y$$\Gamma(n_y,\mu_y)$

Через зв’язок між гамма-розподілами та розподіленими в квадраті чі виявляється, що розподіляється χ 2 2 n x . Співвідношення двох чі-квадратів на їх ступінь свободи дорівнює F. Звідси відношення, μ $2/\mu_x S_x$$\chi^2_{2n_x}$.$\frac{\mu_y}{\mu_x}\frac{S_x/n_x}{S_y/n_y} \sim F_{2n_x,2n_y}$

Тоді, при нульовій гіпотезі рівності засобів, і за двосторонньою альтернативою значення можуть бути, як правило, меншими або більшими, ніж значення з нульового розподілу , тому вам потрібен тест з двома хвостами.$\bar x/\bar y \sim F_{2n_x,2n_y}$

Моделювання, щоб перевірити, що ми не зробили просту помилку в алгебрі:

Тут я моделював 1000 зразків розміром 30 для та 20 для Y із експоненціального розподілу з тим самим середнім значенням та обчислював вищезгадану статистику співвідношення середніх значень.$X$$Y$

Нижче наведена гістограма отриманого розподілу, а також крива, що показує розподіл ми обчислили під нулем:$F$

Приклад із обговоренням обчислення двохвостих p-значень :

Щоб проілюструвати обчислення, ось два невеликі вибірки з експоненціальних розподілів. Зразок X має 14 спостережень у популяції із середнім значенням 10, вибірки Y мають 17 спостережень у популяції із середнім показником 15:

x: 12.173  3.148 33.873  0.160  3.054 11.579 13.491  7.048 48.836 
   16.478  3.323  3.520  7.113  5.358

y:  7.635  1.508 29.987 13.636  8.709 13.132 12.141  5.280 23.447 
   18.687 13.055 47.747  0.334  7.745 26.287 34.390  9.596

Засіб вибірки - відповідно 12.082 та 16.077. Співвідношення засобів становить 0,7515

Область зліва є прямолінійною, оскільки знаходиться в нижньому хвості (кальку в R):

 > pf(r,28,34) 
 [1] 0.2210767

Нам потрібна ймовірність для іншого хвоста. Якби розподіл був симетричним у зворотному, це було б зрозуміло.

Поширена умова з співвідношенням дисперсійного тесту F (що є аналогічно двома хвостими) - це просто подвоїти однохвосте p-значення (фактично, що відбувається як тут ; це теж, що, здається, робиться в R, наприклад ); у цьому випадку воно дає р-значення 0,44.

$\alpha/2$$\alpha$

$r_\mathrm{ELR}$$r_\mathrm{obs}$$\Pr(R>r_\mathrm{ELR})$$r_\mathrm{ELR}=1.3272$$\Pr(R>r_\mathrm{ELR})=0.2142$$0.4352$$0.4315$

$r_\mathrm{ETP}$$\Pr(R>r_\mathrm{ETP})$$\Pr(R<r_\mathrm{obs})$$\Pr(R>r_\mathrm{ETP})$$\mu_x > \mu_y$$\mu_x < \mu_y$$\mu_x > \mu_y$$\mu_x < \mu_y$

Код R наступним чином:

x <- c(12.173, 3.148, 33.873, 0.160, 3.054, 11.579, 13.491, 7.048, 48.836,
       16.478, 3.323, 3.520, 7.113, 5.358)

y <- c(7.635, 1.508, 29.987, 13.636, 8.709, 13.132, 12.141, 5.280, 23.447, 
       18.687, 13.055, 47.747, 0.334,7.745, 26.287, 34.390, 9.596)

# observed ratio of sample means
r.obs <- mean(x)/mean(y)

# sample sizes
n.x <- length(x)
n.y <- length(y)

# define log likelihood ratio function
calc.llr <- function(r,n.x,n.y){
  n.x * log(n.x/n.y + 1/r) + n.y*log(n.y/n.x + r) + n.x*log(n.y/(n.x+n.y)) + n.y*log(n.x/(n.x+n.y))
}

# observed log likelihood ratio
calc.llr(r.obs,n.x, n.y) -> llr.obs

# p-value in lower tail
pf(r.obs,2*n.x,2*n.y) -> p.lo

# find the other ratio of sample means giving an LLR equal to that observed
uniroot(function(x) calc.llr(x,n.x,n.y)-llr.obs, lower=1.2, upper=1.4, tol=1e-6)$root -> r.hi

#p.value in upper tail
p.hi <- 1-pf(r.hi,2*n.x,2*n.y)

# overall p.value
p.value <- p.lo + p.hi

#approximate p.value
1-pchisq(2*llr.obs, 1)