Чому розподіл rand () ^ 2 відрізняється від rand () * rand ()?

У Libre Office Calc rand()доступна функція, яка вибирає випадкове значення між 0 і 1 з рівномірного розподілу. Я трохи іржавий на свою ймовірність, тому, побачивши таку поведінку, я був спантеличений:

A = 200х1 стовпець rand()^2

B = 200х1 стовпець rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

Чому так mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Джефтопія
джерело

Тому що очікування квадрата випадкової величини не дорівнює квадрату його очікування.

— Майкл М

Якщо rand()діє, як і інші подібні оператори, то A - це те саме випадкове число у квадраті, а B - два випадкових числа, помножених.

— Пітер Флом - Відновити Моніку

Я розумію. Було б дуже корисно, хоч якби я міг бачити математику, прописану або пов'язаний з ресурсом, який це робить.

— Джефтопія

Спрощення ситуації може допомогти вам зрозуміти сенс. Припустимо, Rand()їх замінили Int(2*Rand()): це приймає значення

з однаковими ймовірностями. Є дві можливості для його квадрата і чотири можливості для добутку двох (незалежних) значень: що відбувається, коли ви опрацюєте їхні очікування?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Відповіді:

Можливо, буде корисно придумати прямокутники. Уявіть, у вас є можливість отримати землю безкоштовно. Розмір земельної ділянки визначатиметься: (а) однією реалізацією випадкової величини або (б) двома реалізаціями тієї ж випадкової величини. У першому випадку (а) площа буде квадратною, довжина сторони якої дорівнює вибірковому значенню. У другому випадку (b) два вибіркові значення представлятимуть ширину та довжину прямокутника. Яку альтернативу ви обираєте?

Нехай - реалізація позитивної випадкової величини. $\mathbf{U}$

а) Очікуване значення однієї реалізації визначає площу квадрата, яка дорівнює . В середньому розмір площі становитиме $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

Е [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

б) Якщо є дві незалежні реалізації і , то область буде . В середньому розмір дорівнює оскільки обидві реалізації є одним і тим же розподілом і незалежними. $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

Е [U_{1} \cdot U_{2}] = Е^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Коли обчислюємо різницю між розмірами площ а) і b), отримуємо

Е [U^{2}] - Е^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Вищенаведений термін ідентичний який по суті є більшим або рівним . $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

Це стосується загальної справи.

У вашому прикладі ви взяли вибірку з рівномірного розподілу . Отже, $\mathcal{U}(0,1)$

Е [U] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

Е^{2} [U] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V а r [U] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

З отримуємо $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Е [U^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Ці значення були отримані аналітично, але вони відповідають тим, які ви отримали з генератором випадкових чисел.

— Свен Гогенштайн
джерело

a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

Це розумне використання дисперсії. І ось я збирався вирвати математику безпосередньо.

— Affine

Це має для мене сенс. Все залежить від дисперсії, яка є негативною. Мені також цікаво, як Джон отримав свою відповідь.

— Jefftopia

В основному просто слідкували за тим, що робив Свен, але замінили їх формулами для більш загального рівномірного розподілу.

— Іван

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Не припускати, що в відмінній відповіді Свена не вистачає нічого, але я хотів висловити відносно елементарне питання щодо цього.

Подумайте про складання двох компонентів кожного продукту, щоб побачити, що спільний розподіл сильно відрізняється.

сюжет u1 vs u2 і u1 vs u1

Зауважте, що виріб має бути великим (близько 1), коли обидва компоненти є великими, що відбувається набагато легше, коли два компоненти ідеально співвідносяться, а не є незалежними.

Так, наприклад, ймовірність того, що продукт перевищує $1-\epsilon$ (для малих $\epsilon$ ) є про $\epsilon/2$ для $U^2$ ("A"), але для $U_1\times U_2$ ("B") версія про яку йдеться $\epsilon^2/2$ .

Зовсім різниця!

Це може допомогти намалювати контури ізопродукту на таких графіках, як наведені вище - тобто криві, де xy = константа для значень, таких як 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Коли ви переходите до більших і більших значень, частка точок вгорі та праворуч від контуру знижується набагато швидше для незалежного випадку.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело