Тест на незалежність проти тесту на однорідність

Я викладаю базовий курс статистики, і сьогодні я висвітлю тест незалежності для двох категорій та тест на однорідність. Ці два сценарії концептуально відрізняються, але можуть використовувати однакову тестову статистику та розподіл. При тесті на однорідність граничні підсумки для однієї з категорій вважаються частиною самої конструкції - вони представляють кількість досліджуваних, вибраних для кожної експериментальної групи. Але оскільки тест у квадраті обертається навколо кондиціонування на всіх граничних підсумках, математичних наслідків для розмежування тестів на однорідність та тестів на незалежність з категоричними даними немає, принаймні жодного, коли використовується цей тест.

Моє запитання таке: чи існує школа статистичної думки або статистичний підхід, яка б давала різні аналізи, залежно від того, чи ми тестуємо на незалежність (де всі маргінали є випадковими змінними) або тест на однорідність (де один набір маргіналів встановлений дизайном)?

У безперервному випадку, скажімо, де ми спостерігаємо за тією ж темою, і перевіряємо на незалежність, або спостерігаємо у різних популяціях і перевіряємо, якщо вони походять з одного розподілу, метод відрізняється (кореляція аналіз проти t-тесту). Що робити, якщо категоричні дані надходять із дискретних безперервних змінних? Чи повинні тести на незалежність та однорідність не відрізнятись?$(X,Y)$$(X_1, X_2)$

Ви просто повинні запитати себе: "Як мені написати нульову гіпотезу?". Розглянемо кратну таблицю на випадок частот деякої поведінки (у / п) серед ряду груп. Розглядаючи 1-ю групу як референт, у вас є коефіцієнти шансів ( ), які описують зв'язок між частотою та групою.$2 \times k$$k$$k-1$$\theta_i, i = 1, 2, \ldots, k-1$

За незалежності, як і щодо однорідності, ви припускаєте, що всі коефіцієнти шансів дорівнюють 1. Тобто ймовірність відповісти «так» умові однаково вірогідна незалежно від розподілу групи. Якщо ці припущення провалюються, принаймні одна група відрізняється.

$\mathcal{H}_0(\mbox{homogeneity}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

$\mathcal{H}_0(\mbox{independence}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

І це випробування може бути проведено за допомогою тесту на квадрат Пірсона з використанням спостережуваних / очікуваних частот, що є тестовим балом для логістичної регресійної моделі, що коригує змінні показники для членства в групі. Тож структурно можна сказати, що ці тести однакові.$k-1$

Однак відмінності виникають, коли ми розглядаємо характер фактору групування. У цьому сенсі важливим є контекстуальне застосування тесту, а точніше його назви. Група може бути безпосередньо причиною результату, як, наприклад, наявність або відсутність гена або алельних моделей ознаки, і тоді, коли ми відкидаємо нуль, ми робимо висновок, що результат залежить від фактора групування.

З іншого боку, коли ми перевіряємо однорідність, ми спонукаємо себе робити будь-які причинно-наслідкові припущення. Таким чином, коли "група" є складною конструкцією на зразок раси (яка викликає і викликана генетичними, поведінковими та соціально-економічними детермінантами), ми можемо робити висновки на кшталт "расово-етнічні меншини відчувають житлові розбіжності, про що свідчить неоднорідність індексу депривації сусідства" . Якщо хтось протиставив такий аргумент, сказавши: "ну це тому, що меншини досягають нижчої освіти, заробляють менший дохід і отримують менше зайнятості", ви могли б сказати: "Я не стверджував, що їхня раса викликала ці речі, просто просто, якщо ви подивитеся на перегонах ви можете робити прогнози щодо їхнього життєвого стану ".

Таким чином, тести на залежність - це окремий випадок тестів на однорідність, коли можливий вплив факторів, що криються, представляє інтерес, і їх слід вирішувати в стратифікованому аналізі. Використання багатоваріантного регулювання в аналогічній моделі логістичної регресії досягає такої дії, і ми все одно можемо сказати, що ми проводимо тест на залежність, але не обов'язково однорідність.

Існує чітка різниця між двома проблемами, якщо моделювати їх байєсівським способом. У деяких роботах перший випадок (однорідність) називається вибіркою з "одна межа фіксованою", а другий випадок (незалежність) як "загальна фіксована таблиця". Погляньте, наприклад, на Casella et al. (JASA 2009) .
Я працюю над цією темою, але моя робота - яка також описує цю відмінність - ще не вийшла :)