Інтуїція за функцією щільності розподілів t

12

Я вивчаю т-розподіл Стьюдента, і мені стало цікаво, як можна отримати функцію щільності t-розподілів (з wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ):

f (t) = \frac{Γ (\frac{v + 1}{2})}{\sqrt{v π} Γ (\frac{v}{2})} {(1 + \frac{t^{2}}{v})}^{- \frac{v + 1}{2}}

$f(t) = \frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\sqrt{v\pi}\:\Gamma(\frac{v}{2})}\left(1+\frac{t^2}{v} \right)^{-\frac{v+1}{2}}$

де - ступеня свободи, а - гамма-функція. Яка інтуїція цієї функції? Я маю на увазі, якщо я дивлюсь на функцію масової імовірності розподілу бінома, для мене це має сенс. Але функція щільності t-розподілів для мене взагалі не має сенсу ... вона з першого погляду зовсім не інтуїтивна. Або інтуїція просто в тому, що вона має дзвіноподібну криву і вона відповідає нашим потребам? $v$ $\Gamma$

Thnx за будь-яку допомогу :)

probability normal-distribution t-distribution

— jjepsuomi
джерело

3

Цей розподіл має просту (і досить) геометричну інтерпретацію. Дійсно, хоча Студент (1908) вперше вивів цю форму PDF за допомогою інтелектуальної здогадки (підтриманої симуляцією Монте-Карло), Фішер (приблизно в 1920 р.) Вперше дістав її з геометричним аргументом. Суть полягає в тому, що

описує розподіл відношення висоти (рівномірно розподіленої точки) на

-сферу та її радіус (відстань від осі): іншими словами, дотична її широта. Один з цих даних надається на evolvedmicrobe.com/Literature/GeometricTDistribution.pdf .

f

$f$

ν + 1

$\nu+1$

— whuber

9

Якщо у вас є стандартна звичайна випадкова величина і незалежна випадкова величина chi-квадрата з df, то $Z$ $Q$ $\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

має розподіл при df. (Я не впевнений, як розподіляється , але це не .) $t$ $\nu$ $Z/Q$ $t$

Фактичне виведення є досить стандартним результатом. Алекос робить це кілька способів тут .

Що стосується інтуїції, я не маю особливої інтуїції для конкретної функціональної форми, але деякий загальний сенс форми можна отримати, вважаючи, що (масштабується ) незалежний хі-розподіл на знаменнику є правильним перекосом: $\sqrt \nu$

введіть тут опис зображення

Режим трохи нижче 1 (але наближається до 1, коли df збільшується), з деяким шансом значень значно вище та нижче 1. Варіант , означаєщо дисперсіябуде більшеніж. Значення $\sqrt{Q/\nu}$ $t$ $Z$ $\sqrt{Q/\nu}$ $t$ $Z$ $t$ $Z$

$t$ $\sqrt{Q/\nu}$ $t$

введіть тут опис зображення

("відносно більш піковий" призводить до дещо різкішого піку відносно розкиду, але більша дисперсія відводить центр вниз, що означає, що пік трохи нижчий з нижчим df)

$t$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

1

Я був трохи неохайний у своєму поясненні. Звичайно, це був квадратний корінь Chi-квадрата, розподіленого випадковою змінною, розділеною на ступінь його свободи.

— Аналітик

@Analyst Я робив те саме, не раз.

— Glen_b -Встановіть Моніку

9

Відповідь Глена є правильною, але з байєсівської точки зору також корисно думати про розподіл t як про безперервну суміш звичайних розподілів з різними дисперсіями. Вихід можна знайти тут:

Студент t як суміш гаусса

Я відчуваю, що такий підхід допомагає вашій інтуїції, оскільки він пояснює, як виникає розподіл t, коли ви не знаєте точної мінливості вашої сукупності.

— Ерік
джерело

2

Я зробив анімацію про розподіл t як суміш звичайних розподілів тут: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— Rasmus Bååth