Розподіл суми квадратів Т-розподілених випадкових величин

Я дивлюся на розподіл суми квадратів Т-розподілених випадкових величин із хвостовим показником $\alpha$ . Де X - rv, перетворення Фур'є для $X^2$ , $\mathscr{F}(t)$ дає мені рішення для квадрата перед згорткою $\mathscr{F}(t)^n$ .

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

При $\alpha=3$ рішення можливо, але важко і неможливо обернути, щоб зробити зворотний Фур'є для $\mathscr{F}(t)^n$ . Отже, питання: чи була проведена робота з розподілу дисперсії вибірки або стандартного відхилення випадкових змінних, розподілених Т,? (Було б студенту T, що таке квадрат Chi для Гаусса). Дякую.

(Можливе рішення) Я зрозумів, що $X^2$ - розподілений Фішер $F(1,\alpha)$ , отже, я буду розглядати суму розподілених змін Фішера.

$n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

$t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$, який є результатом, який ми очікуємо при підсумовуванні квадратних (стандартних) нормальних змінних.]

Відбір проб Розподіл дисперсионного При відборі проб з поширення$t_{\alpha }$

Враховуючи те, що я написав вище, вираз, який ви отримуєте для "щільності стандартного відхилення n-вибіркових Т змінних", є невірним. Однак, навіть якщо було правильним розподілом, стандартне відхилення - це не просто квадратний корінь суми квадратів (як ви, здається, використовували для досягнення вашої щільності). Ви б замість цього шукали (масштабного) розподілу вибірки . У звичайному випадку LHS цього виразу можна переписати у вигляді суми квадратних нормальних змінних (термін всередині квадрата може бути переписаний у вигляді лінійної комбінації нормальних змінних, яка знову нормально розподіляється), що призводить до знайомий$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ розподіл. На жаль, лінійна комбінація змінних (навіть з однаковими ступенями свободи) не розподіляється як , тому подібний підхід використовувати не можна.$t$$t$

Можливо, вам слід передумати, що ви хочете продемонструвати? Можливо, можливо, досягти мети, використовуючи, наприклад, деякі моделювання. Однак ви вказуєте приклад з , ситуація, коли лише перший момент є кінцевим, тому моделювання не допоможе в таких обчисленнях моменту. $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Ви можете перевірити T-розподіл Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Є стосунки з що є -розподілом ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), але я не впевнений, що це саме те, що ви просите. $T^2$$F$