Чим відрізняється умовна і безумовна квантильна регресія?

38

Умовна кількісна регресія регресії Коенкера та Бассета (1978) для квантила визначається як де є функцією повторного зважування (називається "перевірити" -функція) залишків . $\tau^{th}$

{\hat{β}}_{Q R} = min_{b} \sum_{i = 1}^{n} ρ_{τ} (y_{i} - X_{i}^{'} b_{τ})

$\widehat{\beta}_{QR} = \min_{b} \sum^{n}_{i=1} \rho_\tau (y_i - X'_i b_\tau)$

ρ_{τ} = u_{i} \cdot (τ - 1 (u_{i} < 0))

$\rho_\tau = u_i\cdot (\tau - 1(u_i<0))$

u_{i}

$u_i$

У праці Фірпо та ін. (2009) , автори констатують, що умовна квантильна регресія не дає цікавих наслідків. Вони кажуть, що умовні результати не можуть бути узагальнені для населення (в OLS ми завжди можемо перейти від умовного до безумовного через закон повторених очікувань, але це не доступно для квантових). Це тому, що $\tau^{th}$ безумовний квантиль $y_i$ не може бути таким самим, як $\tau^{th}$ умовний квантил $y_i |X_i$ .

Якщо я правильно розумію, частина проблеми полягає в тому, що коваріати, включені до $X_i$ , впливають на змінну ранжування $u_i$ оскільки включення коваріатів розбиває помилку на спостережувані та незабезпечені компоненти. Я просто не можу зрозуміти, чому це спричиняє проблеми.

Ось мої запитання:

Чим відрізняються умовні та безумовні кількісні ефекти один від одного?
Як можна інтерпретувати коефіцієнти умовних квантильних регресій?
Чи зміщені умовні квантильні регресії?

Список літератури:

Koenker, R., & Bassett, G. (1978) "Квантиси регресії", Econometrica , Vol. 46 (1), стор 33-50.
Фірпо, С. та ін. (2009) «Безумовні квантильні регресії», Економетрика , Вип. 77 (3), стор 953-973.

quantile-regression

— AlexH
джерело

1

Я рекомендую вам перевірити розділ 7 "Здебільшого нешкідливих економетрик" Ангріста та Пішке. У ній є кілька прикладів інтерпретації коефіцієнтів квантильної регресії та наслідків, які квантові умовні до X. Я погоджуюся з вами, що ці наслідки не є недійсними для використання моделі, якщо ви не хочете виділити вплив одного коваріату. Я думаю, що квантильні регресії також можуть бути упередженими; Анґріст і Пішке досліджують деякі запропоновані методи для контролю за пропущеними змінними, наприклад.

— Хуан С

1

Не відповідь, але, можливо, підказки - квантильна регресія може бути подана як проблема "відсутніх даних", де відсутні дані - ваги, використані в зваженій регресії OLS. Наприклад, використання експоненціального розподілу для зворотної ваги дає серединну регресію ( ).

τ = 50

$\tau=50$

— ймовірністьлогічний

29

Налаштування
Припустимо, ви маєте просту регресію форми де результатом є заробіток в журналі, який , - кількість років навчання в школі, а - термін помилки. Замість того, щоб дивитись лише на середній вплив освіти на заробіток, який ви отримаєте за допомогою OLS, ви також хочете побачити ефект у різних частинах розподілу результатів.

\ln y_{i} = α + β S_{i} + ϵ_{i}

$\ln y_i = \alpha + \beta S_i + \epsilon_i$

i

$i$

S_{i}

$S_i$

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

1) Яка різниця між умовною та безумовною установкою.
Спочатку побудуйте прибуток журналу та виберемо двох осіб, і , де знаходиться в нижній частині безумовного розподілу заробітку, а - у верхній частині. $A$ $B$ $A$ $B$ введіть тут опис зображення

Це не виглядає надзвичайно нормально, але це тому, що я використав лише 200 спостережень у моделюванні, тому не заважайте цьому. Що тепер станеться, якщо ми заробітку обумовимо за роки навчання? Для кожного рівня освіти ви отримали б "умовний" розподіл заробітку, тобто ви складете графік щільності, як вище, але для кожного рівня освіти окремо.

введіть тут опис зображення

Дві темно-сині лінії - це прогнозований прибуток від лінійних квантильних регресій на медіані (нижня лінія) та 90-му перцентилі (верхня лінія). Червона щільність на 5 та 15 років навчання дає змогу оцінити розподіл умовного заробітку. Як бачите, індивідуальна має 5 років освіти, а індивідуальна - 15 років. Судячи з усього , індивід в 5-річній освітянській освіті проходить непогано серед своїх груш, отже, вона перебуває у 90-му перцентилі. $A$ $B$ $A$

Отож, коли ви встановлюєте умову щодо іншої змінної, то тепер сталося, що одна людина зараз знаходиться у верхній частині умовного розподілу, тоді як ця людина опиниться у нижній частині безумовного розподілу - це те, що змінює інтерпретацію коефіцієнтів кількісної регресії. . Чому?

Ви вже говорили, що за допомогою OLS ми можемо перейти від , застосувавши закон повторених очікувань, однак це властивість оператора очікувань, який недоступний для квантових (на жаль!). Тому взагалі , у будь-якому квантилі . Це можна вирішити, спершу виконавши умовну квантильну регресію, а потім інтегрувати змінні кондиціонування, щоб отримати маргіналізований ефект (безумовний ефект), який можна інтерпретувати як в OLS. Приклад такого підходу подає Пауелл (2014) . $E[y_i|S_i] = E[y_i]$ $Q_{\tau}(y_i|S_i) \neq Q_{\tau}(y_i)$ $\tau$

2) Як інтерпретувати кількісні коефіцієнти регресії?
Це складна частина, і я не претендую на те, щоб володіти всіма знаннями у світі про це, тому, можливо, хтось придумає для цього краще пояснення. Як ви бачили, ранг особи в розподілі заробітку може бути дуже різним, незалежно від того, чи вважаєте ви умовний чи безумовний розподіл.

Для умовно-кількісної регресії
Оскільки ви не можете сказати, де людина буде знаходитись у розподілі результатів до та після лікування, ви можете робити лише твердження про розподіл у цілому. Наприклад, у наведеному вище прикладі означатиме, що додатковий рік навчання збільшує заробіток у 90-му процентилі умовного розподілу заробітку (але ви не знаєте, хто ще в цьому квантилі до вас призначений людям додатковий рік навчання). Ось чому умовні кількісні оцінки або ефекти умовного квантильного лікування часто не вважаються "цікавими". Зазвичай ми хотіли б знати, як лікування впливає на наших людей, а не тільки на їх розподіл. $\beta_{90} = 0.13$

Для безумовної квантильної регресії
Це такі, як коефіцієнти OLS, які ви використовуєте для інтерпретації. Складність тут полягає не в інтерпретації, а в тому, як отримати ті коефіцієнти, які не завжди прості (інтеграція може не працювати, наприклад, з дуже рідкими даними). Існують і інші способи маргіналізації кількісних коефіцієнтів регресії, такі як метод Фірпо (2009), використовуючи переглянуту функцію впливу. У згаданій у коментарях книзі Ангріста та Пішке (2009) зазначається, що маргіналізація кількісних коефіцієнтів регресії все ще є активною науково-дослідницькою сферою в економетриці - хоча, наскільки мені відомо, більшість людей сьогодні погоджуються на метод інтеграції (наприклад, Меллі та Сантангело (2015), які застосовують його до моделі Зміни в змінах).

3) Чи зміщені умовні квантильні коефіцієнти регресії? Ні (якщо припустити, що у вас правильно вказана модель), вони просто вимірюють щось інше, що може вас зацікавити або не зацікавити. Оціночний ефект на розподіл, а не на людей, як я вже казав, не дуже цікавий - більшість випадків. Щоб навести протилежний приклад: розгляньте політику, який запроваджує додатковий рік обов'язкового навчання в школі, і вони хочуть знати, чи зменшує це нерівність заробітку серед населення.

Дві верхні панелі показують чистий зсув місцеположення, де є постійною на всі квантили, тобто постійний ефект лікування, тобто якщо , додатковий рік освіта збільшує заробітки на 8% у всьому розподілі заробітку. $\beta_{\tau}$ $\beta_{10} = \beta_{90} = 0.8$

Коли ефект квантового лікування НЕ є постійним (як на двох нижніх панелях), ви також маєте ефект масштабу на додаток до ефекту локалізації. У цьому прикладі дно розподілу заробітку зміщується вгору більше, ніж верх, тому різниця 90-10 (стандартний показник нерівності заробітку) зменшується у населення. введіть тут опис зображення

Ви не знаєте, які люди отримують вигоду від цього або в якій частині розподілу люди, які почали знизу (щоб відповісти на ТЕ запитання, вам потрібні безумовні коефіцієнти регресії в квантилі). Можливо, ця політика шкодить їм і ставить їх у ще нижчу частину по відношенню до інших, але якщо метою було дізнатися, чи зменшує додатковий рік обов'язкової освіти, то це є інформативним. Прикладом такого підходу є Brunello et al. (2009) .

Якщо ви все ще зацікавлені в зміщенні квантильних регресій через джерела ендогенності, подивіться на Angrist et al (2006), де вони отримують опущену формулу змінного зміщення для кількісного контексту.

— Енді
джерело

1

Чи існує в даний час реалізація цієї методики?

— Чендлер

1

Окрім чудової відповіді, наданої @Andy. Ви можете перевірити:

Borah, BJ, & Basu, A. (2013). "Виявлення відмінностей між умовними та безумовними кількісними регресійними підходами через додаток для оцінки прихильності ліків". Економіка охорони здоров'я, 22 (9), 1052–1070. http://doi.org/10.1002/hec.2927

— JustGettinStarted
джерело