Перед згладжуванням Лапласа та Діріхле

11

У статті вікіпедії про згладжування Лапласа (або присадки згладжування) сказано, що з байесівської точки зору,

це відповідає очікуваному значенню заднього розподілу, використовуючи симетричний розподіл Діріхле з параметром як попередній. $\alpha$

Мені спантеличено, як це насправді так. Може хтось допоможе мені зрозуміти, наскільки ці дві речі рівнозначні?

Дякую!

— DanielX2010
джерело

10

Звичайно. Це, по суті, зауваження, що розподіл Діріхле є кон'югатом, який є попереднім для мультиноміального розподілу. Це означає, що вони мають однакову функціональну форму. У статті йдеться про це, але я лише наголошу, що це випливає з моделі багаточленної вибірки. Отже, переходячи до цього ...

Спостереження про задньому, так що давайте ввести деякі дані, , які відліки різних елементів. Ми спостерігаємо вибірки всього. Будемо вважати, що виведено з невідомого розподілу (на якому ми будемо ставити до -simplex). $x$ $K$ $N = \sum_{i=1}^K x_i$ $x$ $\pi$ $\mathrm{Dir}(\alpha)$ $K$

Задня ймовірність заданих та даних дорівнює $\pi$ $\alpha$ $x$

p (π | x, α) = p (x | π) p (π | α)

$p(\pi | x, \alpha) = p(x | \pi) p(\pi|\alpha)$

Ймовірність, , є багаточленним розподілом. Тепер випишемо у форматі pdf: $p(x|\pi)$

p (x | π) = \frac{N!}{x_{1}! \dots x_{k}!} π_{1}^{x_{1}} \dots π_{k}^{x_{k}}

$p(x|\pi) = \frac{N!}{x_1!\cdots x_k!} \pi_1^{x_1} \cdots \pi_k^{x_k}$

і

p (π | α) = \frac{1}{B (α)} \prod_{i = 1}^{K} π_{i}^{α - 1}

$p(\pi|\alpha) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K \pi_i^{\alpha - 1}$

де . Помноживши, ми знаходимо це, $\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\Gamma(\alpha)^K}{\Gamma(K\alpha)}$

p (π | α, x) = p (x | π) p (π | α) \propto \prod_{i = 1}^{K} π_{i}^{x_{i} + α - 1} .

$p(\pi|\alpha,x) = p(x | \pi) p(\pi|\alpha) \propto \prod_{i=1}^K \pi_i^{x_i + \alpha - 1}.$

Іншими словами, задній - також Діріхлет. Питання було про задню середню. Оскільки заднім є Діріхлет, ми можемо застосувати формулу для середнього значення Діріхле, щоб знайти це,

E [π_{i} | α, x] = \frac{x_{i} + α}{N + K α} .

$E[\pi_i | \alpha, x] = \frac{x_i + \alpha}{N + K\alpha}.$

Сподіваюся, це допомагає!

— так
джерело

p (π | α, x) = p (x | π) p (π | α) / p (x | α),

$p(\pi | \alpha, x) = p(x | \pi)p(\pi | \alpha)/p(x | \alpha),$ тож чи не помиляється сказати, щоВони пропорційні по відношенню до , але я думаю, що рівність не відповідає дійсності.

p (π | α, x) = p (x | π) p (π | α) ?

$p(\pi | \alpha, x) = p(x | \pi)p(\pi | \alpha)?$

π

$\pi$

— michal

Я довго плутався з цього приводу і хочу поділитися своєю реалізацією. Ці люди, що мотивують згладжування Лапласа Діріхле, використовують Заднє Середнє, а не ПДЧ. Для простоти припустімо бета-розподіл (найпростіший випадок Діріхле) Заднє середнє значення тоді як MAP - . Тож якщо хтось каже, що відповідає додаванню 1 до чисельника та 2 до знаменника, це тому, що вони використовують середнє значення.

\frac{α + n_{s u c c e s s}}{α + β + n_{s u c c e s s} + n_{f a i l u r e s}}

$\frac{\alpha + n_{success}}{\alpha + \beta + n_{success} + n_{failures}}$

\frac{α + n_{s u c c e s s} - 1}{α + β + n_{s u c c e s s} + n_{f a i l u r e s} - 2}

$\frac{\alpha + n_{success} - 1}{\alpha + \beta + n_{success} + n_{failures} - 2}$

α = β = 1

$\alpha = \beta = 1$

— RMurphy

0

Як бічне зауваження, я також хотів би додати ще одну точку до вищенаведеної деривації, яка насправді не стосується головного питання. Однак, розмовляючи про пріорів Діріхле щодо багаточленного розподілу, я вважав, що варто згадати, що б це було формою вірогідності, якщо ми будемо приймати ймовірності як неприємні змінні.

Як правильно вказує sydeulissie, пропорційний . Тепер тут я хотів би обчислити . $p(\pi | \alpha, x)$ $\prod_{i=1}^{K} \, \pi_i^{x_i+\alpha-1}$ $p(x|\alpha)$

p (x | α) = \int \prod_{i = 1}^{K} p (x | π_{i}, α) p (π | α) d π_{1} d π_{2} . . . d π_{K}

$\begin{equation} p(x | \alpha) = \int \prod_{i=1}^{K}p(x | \pi_i, \alpha)p(\pi|\alpha) \mathrm{d} \pi_1 \mathrm{d} \pi_2 ...\mathrm{d} \pi_K \end{equation}$

Використовуючи цілісну ідентичність для функцій гамми, ми маємо:

p (x | α) = \frac{Γ (K α)}{Γ (N + K α)} \prod_{i = 1}^{K} \frac{Γ (x_{i} + α)}{Γ (α)}

$\begin{equation} p(x|\alpha) = \frac{\Gamma(K\alpha)}{\Gamma(N + K\alpha)} \prod_{i=1}^{K} \frac{\Gamma(x_i + \alpha)}{\Gamma(\alpha)} \end{equation}$

Вищенаведене виведення ймовірності категоричних даних пропонує більш надійний спосіб поводження з цими даними для випадків, коли розмір вибірки не настільки великий. $N$

— оміді
джерело