Я дивлюся на лист Excel, який стверджує, що його обчислюють $\chi^2$, але я не визнаю такого способу цього, і мені було цікаво, чи я щось пропускаю.

Ось дані, які він аналізує:

+------------------+----------+----------+
| Total Population | Observed | Expected |
+------------------+----------+----------+
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       42 | 32.5     |
|             2000 |       25 | 32.5     |
|             2000 |       21 | 32.5     |
+------------------+----------+----------+

Ось такі суми, які вона робить для кожної групи, щоб обчислити чи квадрат:

P = (sum of all observed)/(sum of total population) = 0.01625
A = (Observed - (Population * P)) ^2
B = Total Population * P * (1-P)
ChiSq = A/B

Отже, для кожної групи є:$\chi^2$

2.822793
2.822793
1.759359
4.136448

А загальна хі - квадрат: 11.54139.

Однак кожен я бачив приклад обчислення абсолютно інший від цього. Я б робив для кожної групи:$\chi^2$

chiSq = (Observed-Expected)^2 / Expected

І тому для наведеного вище прикладу я отримав би загальне значення квадратних чі 11.3538.

Моє запитання - чому на аркуші excel вони обчислюють таким чином? Це визнаний підхід?$\chi^2$

ОНОВЛЕННЯ

Моя причина, коли я хочу це знати, полягає в тому, що я намагаюся повторити ці результати на мові R. Я використовую функцію chisq.test, і вона не виходить з тим же номером, що і на аркуші Excel. Тож якщо хтось знає, як зробити такий підхід в R, це було б дуже корисно!

ОНОВЛЕННЯ 2

Якщо когось цікавить, ось як я обчислив це в R:

res <- matrix(c((2000-42), 42, (2000-42), 42, (2000-25), 25, (2000-21), 21), 2, 4)
chisq.test(res)

Це виявляється досить відвертим.

Це явно біноміальна вибірка. Є два способи на це подивитися.

Метод 1 - метод електронної таблиці, для обліку спостережуваних підрахунків $X_i$ як $\sim \text{Bin}(N_i,p_i)$, що може бути приблизно $\text{N}(\mu_i=N_i\cdot p_i,\sigma_i^2=N_i\cdot p_i(1-p_i))$. Як такий,$Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$ є приблизно стандартними нормальними, і $Z$є незалежними, тому (приблизно) $\sum_i Z_i^2\sim \chi^2$.

(Якщо p засновані на спостережених підрахунках, то $Z$вони не є незалежними, але це все ще хі-квадрат з меншою мірою свободи.)

Спосіб 2: ваше використання $(O-E)^2/E$Форма чі-квадрата також працює, але вона вимагає, щоб ви враховували не лише ті категорії, які ви позначили як "Спостерігали", але й ті, які не в цій категорії:

+------------+------+-------+
| Population | In A | Not A |
+------------+------+-------+
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   42 |  1958 |
|       2000 |   25 |  1975 |
|       2000 |   21 |  1979 |
+ -----------+------+-------+

Де $E$для першого стовпця такі, як у вас, а другі для другого стовпця $N_i(1-p_i)$

... а потім суму $(O-E)^2/E$ над обома стовпцями.

Дві форми є алгебраїчно рівнозначними. Зауважте, що $1/p + 1/(1-p) = 1/p(1-p)$. Розглянемо i$^{th}$ ряд чі-квадрата:

$$\begin{eqnarray} \frac{(X_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2} &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-N_i+N_ip_i-X_i)^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{(N_i-X_i-(N_i-N_ip_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(X_i- N_ip_i)^2}{N_ip_i} +\frac{((N_i-X_i)-N_i(1-p_i))^2}{N_i(1-p_i)}\\ &=& \frac{(O^{(A)}_i- E^{(A)}_i)^2}{E^{(A)}_i} +\frac{(O^{(\bar A)}_i-E^{(\bar A)}_i)^2}{E^{(\bar A)}_i} \end{eqnarray}$$

Що означає, що ви повинні отримувати однакову відповідь обома способами, аж до помилки округлення.

Подивимось:

             Observed             Expected                 (O-E)^2/E          
  Ni        A     not A          A      not A             A           not A      
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     42         1958      32.5     1967.5       2.776923077     0.045870394     
 2000     25         1975      32.5     1967.5       1.730769231     0.028589581     
 2000     21         1979      32.5     1967.5       4.069230769     0.067217281     

                                            Sum     11.35384615      0.187547649  

Чі-квадрат = 11,353846 + 0,187548 = 11,54139

Що відповідає їхній відповіді.