Порівняння дисперсії парних спостережень

У мене є парних спостережень ( , ), отриманих із загального невідомого розподілу, який має кінцевий перший та другий моменти, і симетричний навколо середнього.$N$$X_i$$Y_i$

Нехай стандартне відхилення (безумовне на ), а те саме для Y. Я хотів би перевірити гіпотезу $\sigma_X$$X$$Y$$\sigma_Y$

$H_0$ :$\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ :$\sigma_X \neq \sigma_Y$

Хтось знає про такий тест? Першим аналізом можу припустити, що розподіл є нормальним, хоча загальний випадок цікавіший. Я шукаю рішення закритої форми. Бутстрап завжди є крайнім засобом.

Ви можете використати той факт, що розподіл вибіркової дисперсії - це квадратний розподіл чі, орієнтований на справжню дисперсію. Згідно з нульовою гіпотезою, ваша тестова статистика буде різницею двох випадкових величин у квадраті, зосереджених на тій самій невідомій справжній дисперсії. Я не знаю, чи є різниця двох випадкових величин чи-квадратів ідентифікованим розподілом, але вищезазначене може певною мірою допомогти вам.

Якщо ви хочете спуститися по непараметричному маршруту, ви завжди можете спробувати тест у квадраті.

Для непарного випадку припущення для цього тесту (взяті звідси ):

1. Обидва зразки є випадковими вибірками з їх відповідних популяцій.
2. Крім незалежності в межах кожного зразка існує взаємна незалежність між двома зразками.
3. Шкала вимірювання - не менше інтервалу.

Ці конспекти лекцій докладно описують непарний випадок.

Для парного випадку цю процедуру вам доведеться трохи змінити. Посередині цієї сторінки слід дати вам уявлення про те, з чого почати.

Найбільш простий підхід я можу думати про те , щоб регресувати проти X я , як Y я ~ м X я + б , а потім виконати т -test на гіпотезі т = 1 . Див. T-тест на нахил регресії .$Y_i$$X_i$$Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$$t$$m = 1$

Менш наївним підходом є тест Моргана-Пітмана. Нехай тоді виконують тест на коефіцієнт кореляції Пірсона U i vs V i . (Це можна зробити просто за допомогою перетворення Fisher RZ , яке дає довірчі інтервали навколо зразкового коефіцієнта Пірсона, або через завантажувальну стрічку.)$U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$$U_i$$V_i$

Якщо ви використовуєте R, і вам не хочеться самостійно кодувати все, я б скористався bootdpciпакетом надійної статистики, WRS від Wilcox. (див . сторінку Вілкокса .)

Якщо ви можете припустити двовимірну нормальність, то ви можете розробити тест на коефіцієнт ймовірності, порівнюючи дві можливі структури матричної коваріації. Добре відомі необмежені (H_a) максимальні ймовірності - просто матриця вибіркової коваріації, обмежені (H_0) можна отримати, виписавши ймовірність (і, ймовірно, це буде якась "об'єднана" оцінка).

Якщо ви не хочете отримувати формули, ви можете використовувати SAS або R, щоб підходити до моделі повторних заходів з неструктурованими та складовими коваріаційними структурами симетрії та порівняти ймовірності.

Складність явно виникає через те, що і Y є спільними (я припускаю, що ( X , Y ) є спільно гауссовими, як Аніко), і ви не можете змінити значення (як у відповіді @ svadali) або співвідношення (як у стандартному Fisher-Snedecor "F-тест") тому, що це залежало б від розподілу χ 2 , і тому, що ви не знаєте, що це за залежність, що ускладнює отримання розподілу за H 0 .$X$$Y$$(X,Y)$$\chi^2$$H_0$

Моя відповідь спирається на рівняння (1) нижче. Оскільки різницю дисперсійності можна розподілити з різницею власних значень і різницею кута повороту, тест рівності може бути відхилений на два випробування. Я показую, що можна використовувати тест Фішера-Снедекора разом з тестом на схилі, наприклад, запропонованим @shabbychef через просту властивість 2D-гауссових векторів.

Фішер-Snedecor Тест: Якщо при ( Z я 1 , ... , Z я п я ) IID гауссовских випадкових величин з емпіричної несмещенной дисперсією λ 2 я і справжня дисперсія λ 2 я , то можна перевірити , якщо λ 1 = λ 2, використовуючи той факт, що під нулем,$i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$$\hat{\lambda}^2_i$$\lambda^2_i$$\lambda_1=\lambda_2$

Він використовує той факт , що слідрозподіл Фішера-SnedecorР(п1-1,п2-1

$$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$$ $F(n_1-1,n_2-1)$

Проста властивість 2D-гауссового вектора Позначимо через Зрозуміло, що існує λ 1 , λ 2 > 0 ϵ 1 , ϵ 2 два незалежних гауссових N ( 0 , λ 2 i ) такий, що

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ $\lambda_1,\lambda_2>0$ $\epsilon_1$$\epsilon_2$$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$$ and that we have $$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$$

$Var(X)=Var(Y)$$\lambda_1^2=\lambda_2^2$$\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$)

Conclusion (Answer to the question) Testing for $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ is easely done by using ACP (to decorrelate) and Fisher Scnedecor test. Testing $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ is done by testing if $|\beta_1|=1$ in the linear regression $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ (I assume $Y$ and $X$ are centered).

Testing wether $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$.