Прості приклади неспоріднених, але незалежних і

Будь-який працьовитий студент є контрприкладом до того, що "всі учні ліниві".

Назвіть кілька простих контрприкладів, "якщо випадкові величини і є некорельованими, то вони незалежні"?$X$$Y$

Нехай .$X\sim U(-1,1)$

Нехай .$Y=X^2$

Змінні не співвідносяться, але залежать.

В якості альтернативи розглянемо дискретний двовимірний розподіл, що складається з ймовірності в 3 бали (-1,1), (0, -1), (1,1) з вірогідністю 1/4, 1/2, 1/4 відповідно. Тоді змінні є некорельованими, але залежними.

Розглянемо двовимірні дані, рівномірні в алмазі (квадрат повернутий на 45 градусів). Змінні будуть некорельованими, але залежними.

Це про найпростіші випадки, про які я можу придумати.

Я думаю, що суть деяких простих контрприкладів можна побачити, починаючи з безперервної випадкової величини орієнтованої на нуль, тобто E [ X ] = 0 . Припустимо, pdf X є рівним і визначається на проміжку форми ( - a , a ) , де a > 0 . Тепер припустимо, що Y = f ( X ) для деякої функції f . Тепер ми задаємо питання: для яких функцій f ( X ) ми можемо мати C $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

Ми знаємо, що . Наше припущення, що E [ X ] = 0 веде нас прямо до C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Позначивши pdf X через p ( ⋅ ) , маємо$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

.$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

Ми хочемо, щоб і один із способів досягнення цього полягає в тому, щоб f ( x ) було парною функцією, що означає, що x f ( x ) p ( x ) є непарною функцією. Потім випливає, що ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0 , і так C o $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ .$Cov(X,f(X))=0$

Таким чином, ми можемо бачити , що точний розподіл НЕ має значення , як уздовж , як PDF симетрично навколо деякої точки і будь-який парної функції F ( ⋅ ) буде робити для визначення Y .$X$$f(\cdot)$$Y$

Сподіваємось, це може допомогти студентам побачити, як люди придумують ці типи контрприкладів.

Будьте контрприкладом (тобто працьовитим учнем)! З цим сказаним:

Я намагався придумати реальний приклад світу, і це було перше, що мені прийшло в голову. Це не буде математично найпростішим випадком (але якщо ви розумієте цей приклад, ви повинні мати можливість знайти більш простий приклад з урнами та кульками чи іншим).

За даними деяких досліджень, середній показник IQ у чоловіків і жінок однаковий, але дисперсія чоловічого IQ більша, ніж дисперсія жіночої IQ. Щодо конкретності, скажімо, що IQ чоловіка слідує за а IQ самця слід N ( 100 , α σ 2 ) з α < 1 . Половина населення - чоловіки, а половина - жінки.$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Assuming that this research is correct:

What is the correlation of gender and IQ?

Is gender and IQ independent?

We can define a discrete random variable $X\in\{-1,0,1\}$ with $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

and then define $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

$X$$Y$

Спробуйте це (код R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$$x$

Єдиний загальний випадок, коли відсутність кореляції передбачає незалежність, коли спільний розподіл X і Y є гауссовим.

Відповідь у двох реченнях: найясніший випадок некорельованої статистичної залежності - це нелінійна функція RV, скажімо, Y = X ^ n. Два RV чітко залежать, але ще не співвідносяться, оскільки кореляція є лінійною залежністю.