Приклад CLT, коли моменти не існують

Розглянемо $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Мені потрібно показати, що, хоча це нескінченна кількість моментів,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Я спробував це показати, використовуючи теорему безперервності Леві, тобто спробував показати, що характеристична функція лівого боку сходиться до характерної функції стандартного нормального. Однак це здавалося неможливим.

Підказкою для цієї проблеми було скорочення кожного , тобто дозволяти та використовувати умову Ліндеберга, щоб показати, що . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Однак мені не вдалося показати, що умова Ляпунова задоволена. Це головним чином через те, що не веде себе так, як хотів би. Я хотів би, щоб приймав лише значення -1 і 1, однак, таким чином, як він побудований, він може приймати значення $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Грінпаркер
джерело

Якщо ви обрізаєте транзит на

n

$n$ , уважно перевірте, чи є останній абзац значущим для усієї змінної. У будь-якому випадку спробуйте зробити трансакцію за адресою

1

$1$ замість цього використовуйте Борель-Кантеллі, а потім Слуцького, щоб отримати результат. Ви повинні мати можливість використовувати Ліндеберга або Ляпунова на усіченому шматку (хоча я насправді цього не перевіряв).

— кардинал

Вибач за те. Змінив це на "нескінченні" моменти

— Greenparker

@cardinal Я перейшов можливі значення

Y_{n i}

$Y_{ni}$ може взяти знову, і додав слово до журналу. Інакше значення здаються правильними. Якщо я скорочую в 1, я отримаю потрібні значення

Y_{n i}

$Y_{ni}$ і зможе застосувати умову Ліндеберга, щоб отримати конвергенцію до нормальної. Однак я не бачу, як це буде означати конвергенцію до нормальної для країни

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Грінпаркер

Що "

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$ "Ви не описали контекст, у якому є зразки або кілька примірників кожного

X_{n}

$X_n$ звідси - з огляду на те, що сказано у запитанні - про єдино можливе прочитання цієї нотації є те, що вона стосується середнього значення

X_{n}

$X_n$ , яка завжди нескінченна і є числом, а не розподілом. Тому ми мусимо уявити, що ви задумуєтесь про свої зразки

X_{n}

$X_n$ , але вам потрібно сказати нам це, і вам особливо потрібно визначити, які розміри вибірки.

— whuber

Ось відповідь на основі коментаря @ кардинала:

Нехай простір зразка буде таким, як траси стохастичних процесів $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ і $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ , куди ми пустимо $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$ . Умова Ліндеберга (відповідає позначенням Вікіпедії ) виконується для:

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$ для будь-якого

ϵ

$\epsilon$ як

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$ коли завгодно

n \to \infty .

$n\to \infty.$

У нас це теж є $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ автор Борель-Кантеллі з тих пір $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ так що $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ . По-різному, $X_i$ і $Y_i$ відрізняються лише кінцево часто майже напевно.

Визначте $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ і рівнозначно для $S_{Y,n}$ . Виберіть зразок шляху $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ такий як $X_i > 1$ лише для кінцево багатьох $i$ . Індексуйте ці умови за $\mathcal{J}$ . Вимагайте також з цього шляху, що $X_j,j\in \mathcal{J}$ є кінцевими. Для такого шляху

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$ де

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$ . Причому для досить великих

n

$n$ ,

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Використання результату Бореля-Кантеллі разом з тим, що $X_i$ майже впевнено кінцевий, ми бачимо, що ймовірність вибіркового шляху, що підкоряється нашим вимогам, одна. Іншими словами, різні умови йдуть до нуля майже напевно. Таким чином, ми по теоремі Слуцького маємо, що для великих $n$ ,

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$ де

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$ .

— еквалл
джерело