Позначення для багаторівневого моделювання

Формула, яку потрібно вказати для навчання багаторівневої моделі (використовуючи lmerз lme4 Rбібліотеки), завжди отримує мене. Я прочитав незліченну кількість підручників та навчальних посібників, але ніколи не зрозумів це правильно.

Ось ось приклад із цього підручника, який я хотів би бачити сформульованим у рівнянні. Ми намагаємось моделювати частоту голосу як функцію статі (жінки мають більш високий рівень голосу, ніж чоловіки в цілому) та ставлення до людини (будь то ввічливий чи неофіційний відповідь) у різних сценаріях. Також, як видно з subjectколонки, кожну людину кілька разів піддавали вимірюванням.

> head(politeness, n=20)
   subject gender scenario attitude frequency
1       F1      F        1      pol     213.3
2       F1      F        1      inf     204.5
3       F1      F        2      pol     285.1
4       F1      F        2      inf     259.7
5       F1      F        3      pol     203.9
6       F1      F        3      inf     286.9
7       F1      F        4      pol     250.8
8       F1      F        4      inf     276.8
9       F1      F        5      pol     231.9
10      F1      F        5      inf     252.4
11      F1      F        6      pol     181.2
12      F1      F        6      inf     230.7
13      F1      F        7      inf     216.5
14      F1      F        7      pol     154.8
15      F3      F        1      pol     229.7
16      F3      F        1      inf     237.3
17      F3      F        2      pol     236.8
18      F3      F        2      inf     251.0
19      F3      F        3      pol     267.0
20      F3      F        3      inf     266.0

subject, genderІ attitudeє факторами (з informalі femaleрозглядатися в якості базових рівнів для attitudeі genderв рівняннях нижче). Тепер однією ідеєю є підготовка моделі з різними перехопленнями для кожного subjectта scenario:

politeness.model=lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1|subject) + (1|scenario), data=politeness)

Якщо моє розуміння нотації правильне, це відповідає:

$y_i=a^1_{j[i]}+a^2_{k[i]}+\beta\cdot$ attitude $_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender $_{\text{male}_i}$

$i$ $i^{th}$ $j[i]$ subject $k[i]$ scenario $i^{th}$ attitude $_\text{pol}$ gender $_\text{male}$

Щоб ввести випадкові нахили для відношення, ми можемо написати:

politeness.model = lmer(frequency ~ attitude + gender + 
 (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario), data=politeness)

Знову ж таки, якщо моє розуміння зрозуміле, це відповідає:

$y_i = a^1_{j[i]} + a^2_{k[i]} + (\beta^1_{j[i]} + \beta^2_{k[i]})\cdot$ attitude $_{\text{pol}_i} + \gamma\cdot$ gender $_{\text{male}_i}$

Тепер, якому рівнянню відповідає наступна Rкоманда?

politeness.null = lmer(frequency ~ gender +
 (1+attitude|subject) +  (1+attitude|scenario), data=politeness)

r multilevel-analysis lme4-nlme

— абхінавулкарні
джерело

не дуже розумний; середній нахил населення щодо відношення вважається рівним нулю ...

— Бен Болкер

@BenBolker: Гей, чи можете ви, будь ласка, написати це у формі рівняння? Чи правильні мої попередні рівняння? В останній моделі я все ще бачу, attitudeщо це обумовлено subjectі scenario.

— abhinavkulkarni

Я б написав

~ attitude + gender + (1|subject) + (1|scenario)

як

y_{i} \sim β_{0} + β_{1} \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + b_{1, j [i]} + b_{2, k [i]} + ϵ_{i} b_{1} \sim N (0, σ_{1}^{2}) b_{2} \sim N (0, σ_{2}^{2}) ϵ \sim N (0, σ_{r}^{2})

$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]} + \epsilon_i \\ b_1 \sim N(0,\sigma^2_1) \\ b_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$

β

$\beta$

b

$b$

I

$I$

~ attitude + gender + (1+attitude|subject) + (1+attitude|scenario)

додає варіацію між тематикою у відповідь на attitudeта scenario(ми могли б рівнозначно записати частину випадкових ефектів як (attitude|subject) + (attitude|scenario), тобто залишати перехоплення неявним; це питання смаку). Тепер

y_{i} \sim β_{0} + β_{1} \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + b_{1, j [i]} + b_{3, j [i]} I (attitude = pol) + b_{2, k [i]} + b_{4, k [i]} I (attitude = pol) + ϵ_{i} {b_{1}, b_{3}} \sim MVN (0, Σ_{1}) {b_{2}, b_{4}} \sim MVN (0, Σ_{2}) ϵ \sim N (0, σ_{r}^{2})

$y_i \sim \beta_0 + \beta_1 \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \\ b_{1,j[i]} + b_{3,j[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + b_{2,k[i]} + b_{4,k[i]} I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \epsilon_i \\ \{b_1,b_3\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_1) \\ \{b_2,b_4\} \sim \textrm{MVN}({\mathbf 0},\Sigma_2) \\ \epsilon \sim N(0,\sigma^2_r)$

Σ_{1}

$\Sigma_1$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

Σ_{1} = (\begin{array}{cc} σ_{1}^{2} & σ_{13} \\ σ_{13} & σ_{3}^{2} \end{array})

$\Sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} \sigma^2_1 & \sigma_{13} \\ \sigma_{13} & \sigma^2_3 \end{array} \right)$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

y_{i} \sim (β_{0} + b_{1, j [i]} + b_{2, k [i]}) + (β_{1} + b_{3, j [i]} + b_{4, k [i]}) \cdot I (attitude = pol) + β_{2} I (gender = male) + ϵ_{i}

$y_i \sim (\beta_0 + b_{1,j[i]} + b_{2,k[i]}) + \\ ( \beta_1 + b_{3,j[i]} + b_{4,k[i]}) \cdot I(\textrm{attitude}=\textrm{pol}) + \beta_2 I(\textrm{gender}=\textrm{male}) + \epsilon_i$

attitude $\beta_1=0$ attitude

— Бен Болкер
джерело