Як розподіл може мати нескінченну середню величину та дисперсію?

35

Було б вдячно, якщо можна було навести наступні приклади:

Розподіл з нескінченною середньою і нескінченною дисперсією.
Розподіл з нескінченною середньою і кінцевою дисперсією.
Розподіл з кінцевою середньою і нескінченною дисперсією.
Розподіл з кінцевою середньою і кінцевою дисперсією.

Це походить від мене, коли я бачу ці незнайомі терміни (нескінченна середня, нескінченна дисперсія), використані в статті, яку я читаю, гуглю і читаю тему на форумі / веб-сайті Вілмотта , і не знаходжу це достатньо чіткого пояснення. Я також не знайшов пояснень у жодному із своїх власних підручників.

distributions variance mean

— user1205901 - Відновити Моніку
джерело

1

випадок 2 у вашому списку вище неможливий.

— kjetil b halvorsen

Відповідно: stats.stackexchange.com/questions/94402/…

— b halvorsen

1

Можливий дублікат Якої різниці між кінцевою та нескінченною дисперсією

— kjetil b halvorsen

2

Запитуючи ці чотири конкретні приклади, я вважаю, що це чітке питання, і його не слід закривати як дублікат, хоча інше питання, безумовно, є актуальним та корисним.

— Срібна рибка

1

Із 4-х прикладів лише 1, 3 і 4 є фактично можливими, і легкі приклади можна навести для 1 і 4. Коші - приклад 1, а Гаусс - приклад 4. Неможливо, щоб дисперсія була чітко визначена якщо .mean не існує. Отже, 2 неможливо. Приклад із 3 було б цікаво побудувати.

— Майкл Р. Черник

52

Середнє значення та дисперсія визначаються через інтеграли. Що означає, що середня чи дисперсія буде нескінченною, це твердження про обмежувальну поведінку для цих інтегралів

$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

Це може статися, наприклад, якщо хвіст "досить важкий". Розглянемо наступні приклади для чотирьох випадків скінченного / нескінченного середнього та дисперсії:

Розподіл з нескінченною середньою і нескінченною дисперсією.

Приклади: розподіл Парето з , дзета (2) розподіл. $\alpha= 1$
Розподіл з нескінченною середньою і кінцевою дисперсією.

Неможливо.
Розподіл з кінцевою середньою і нескінченною дисперсією.

Приклади: розподіл . Парето з . $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
Розподіл з кінцевою середньою і кінцевою дисперсією.

Приклади: Будь-яка нормальна. Будь-яка рівномірна (дійсно, будь-яка обмежена змінна має всі моменти). . $t_3$

Ви також можете мати розподіл, де інтеграл не визначений, але не обов'язково виходить за межі всіх кінцевих меж.

Ці замітки Чарльза Гейєра говорять про те, як обчислити відповідні інтеграли простими словами. Схоже, це стосується інтегралів Рімана, який охоплює лише безперервний випадок, але більш загальні визначення інтеграла (наприклад, Stieltjes) охоплюватимуть всі випадки, які вам, ймовірно, потрібно [Інтеграція Лебега є формою інтеграції, що використовується в теорії вимірювань (що лежить в основі ймовірності), але справа тут чудово працює з більш основними методами]. Він також охоплює (Розділ 2.5, с. 13-14), чому "2." неможливо (середнє існує, якщо існує дисперсія).

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

7

+1 Причина, чому (2) неможлива, є тривіальною: дисперсія визначається середньою величиною. Трохи глибшим є той факт, що коли другий момент кінцевий, то середнє значення має бути кінцевим. Бо якщо середнє значення нескінченне, то a fortiori другий момент повинен бути нескінченним, оскільки другий момент зважує значення не тільки за ймовірністю, але й самим ( ). Ці ваги ростуть без обмежень, внаслідок чого другий момент врешті перевищує абсолютне значення першого моменту.

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber, але ви можете визначити дисперсію без посилання на середнє значення (наприклад, з точки зору очікування квадратних різниць у парах значень), тому питання не настільки тривіальне, як це. Щось більше, як ваш другий аргумент, насправді потрібно.

— Glen_b -Встановіть Моніку

3

Це хороший момент, але якщо ми визнаємо, що будь-яке альтернативне визначення дисперсії алгебраїчно еквівалентне звичайному визначенню для всіх розподілів, то якщо воно не визначене згідно з одним визначенням, це, логічно, здасться достатньою демонстрацією того, що воно не визначене згідно їм усім. Там, де альтернативи на зразок тієї, яку ви згадуєте, виходять на перший план - це вивчення стохастичних процесів, де різні визначення не є рівнозначними.

— whuber

2

Так. Дисперсія, будучи очікуванням невід'ємної випадкової величини, дорівнює інтегралу Лебега лише позитивної частини. Тому це або скінченне, або нескінченне (у розширеному рядку числа), незалежно від того. Ця властивість бути негативною відрізняє аналіз парних моментів від аналогічних інших моментів, які неможливо визначити.

— whuber

2

Визначення дисперсії полягає в тому, що вона дорівнює

.

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

Стабільні дистрибуції забезпечують приємні параметричні приклади того, що ви шукаєте:

нескінченна середня величина та дисперсія: $0 < \text{stability parameter} < 1$
Не застосовується
кінцева середня і нескінченна дисперсія: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
кінцеве середнє значення та дисперсія: (гауссова) $\text{stability parameter} = 2$

— Стів Шуліст
джерело

1

Тут ніхто не згадав про парадокс Петербурга; інакше я б не розмістив у цій старій темі, яка вже має кілька відповідей, включаючи одну "прийняту" відповідь.

Якщо монета приземлиться "головою", ви виграєте один цент.

Якщо "хвости", виграш збільшується вдвічі, а якщо "голова" на другому киданні, ви виграєте два центи.

Якщо "хвости" вдруге, виграш знову подвоюється, а якщо "голова" на третьому киданні, ви виграєте чотири копійки.

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$ так що це нескінченно очікуване значення.

Це означає , що якщо ви платите $\$1$ млн за кожне підкидання монети, або $\$1$ трлн і т.д., то ви в кінцевому підсумку вийти вперед. Як це може бути, коли ти навряд чи виграєш більше, ніж кілька центів кожного разу?

Відповідь полягає в тому, що за одного дуже рідкого випадку ви отримаєте довгу послідовність хвостів, так що виграш компенсує вам величезні витрати, які ви понесли. Це правда, незалежно від того, наскільки висока ціна ви платите за кожен жеребкування.

— Майкл Харді
джерело

-1

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— Містер Джо
джерело

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$