Чи можливо аналітично інтегрувати

По-перше, маючи на увазі, аналітично інтегруючи, чи існує правило інтеграції для вирішення цього питання, на відміну від чисельних аналізів (таких як трапецієподібний, Гаус-Легендрський або Сімпсонський)?

У мене є функція $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ де

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$ - функція густини ймовірності логічного нормального розподілу при параметри

μ

$\mu$ та

σ

$\sigma$ . Нижче я скорочу нотацію до

g (x)

$g(x)$ і використовую

G (x)

$G(x)$ для функції кумулятивного розподілу.

Мені потрібно обчислити інтеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

В даний час я роблю це з чисельною інтеграцією за допомогою методу Гаусса-Лежандра. Оскільки мені потрібно запустити це багато разів, продуктивність важлива. Перш ніж розглянути оптимізацію чисельних аналізів / інших фрагментів, я хотів би знати, чи є якісь правила інтеграції для вирішення цього питання.

Я спробував застосувати правило інтеграції по частинах, і дійшов до цього, де я знову застряг,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Я застряг, оскільки не можу оцінити $\int G(x) \rd x$ .

Це для програмного пакету, який я будую.

distributions lognormal

— Рош
джерело

@Rosh, по ви середня щільність ймовірності логарифмически нормального розподілу?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

Це виражається як незмінна різниця двох нормальних cdfs в рази. Нормальний cdfs ефективно обчислюється за допомогою раціонального наближення В. Коді Чебишева. Вам не потрібно і, майже безсумнівно, не слід віддавати перевагу чисельно-інтеграційним альтернативам цьому. Якщо вам потрібно більше деталей, я можу їх опублікувати.

— кардинал

@mpiktas, Так, лонормальне - це функція щільності ймовірності, а lognormalCDF - функція накопичувальної щільності.

— Рош

@Rosh має логічний розподіл означає, що нормально розподіляється. Таким чином, підставляємо у свій вихідний інтеграл. Інтеграл - це експоненція, аргументом якої є квадратична функція . Заповнення квадрата перетворює його в кратний звичайному PDF-файлу, тому ваша відповідь записується у формі звичайного CDF та експонентів початкових кінцевих точок. Існує багато хороших наближень до нормальної CDF (кратна функція помилок).

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

Так, @whuber і я описували те саме. Ви повинні отримати щось на зразок де і і позначає звичайний cdf. Зауважте, що залежно від значень , , та , існують способи переписати це вираз, щоб бути стабільніше чисельно.

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— кардинал

Коротка відповідь : Ні, це неможливо, принаймні з точки зору елементарних функцій. Однак для обчислення такої кількості існує дуже хороший (і досить швидкий!) Числовий алгоритм, і в цьому випадку їм слід віддати перевагу перед будь-якою технікою чисельної інтеграції.

Кількість відсотків у перерахунку на звичайний cdf

Кількість, яка вас цікавить, насправді тісно пов'язана із умовним середнім значенням лонормальної випадкової величини. Тобто, якщо поширюється як логічний з параметрами та , то, використовуючи ваше позначення, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

Щоб отримати вираз для цього інтеграла, зробіть підстановку . Спочатку це може здатися трохи немотивованим. Але зауважимо, що використовуючи цю підстановку, і шляхом простої зміни змінних, ми отримуємо де і . $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

Отже, де - стандарт нормальна функція кумулятивного розподілу.

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Числове наближення

Часто зазначається, що для існує відомого виразу із закритою формою . Однак теорема Ліувілля з початку 1800-х років стверджує щось більш сильне: для цієї функції немає вираження закритої форми . (Доказ у цьому конкретному випадку див. У статті Брайана Конрада .) $\Phi(x)$

Таким чином, нам залишається використовувати числовий алгоритм для наближення до потрібної кількості. Це можна зробити з плаваючою точкою подвійної точності IEEE за допомогою алгоритму WJ Cody's. Це стандартний алгоритм для цього завдання, і використання раціональних виразів з досить низького порядку, це досить ефективно, теж.

Ось посилання, яке обговорює наближення:

WJ Коді, Раціональне наближення Чебишева до функції помилок , математика. Склад. , 1969. С. 631--637.

Це також реалізація, яка використовується як в MATLAB, так і в серед інших випадків, якщо вони полегшують отримання прикладного коду. $R$

Ось відповідне питання, на випадок, якщо вам це цікаво.

— кардинальний
джерело