Чи слід використовувати середнє значення при перекосі даних?

Часто вступні тексти прикладної статистики відрізняють середнє значення від медіани (часто в контексті описової статистики та мотивуючи узагальнення центральної тенденції за допомогою середнього, медіанного та режиму), пояснюючи, що середнє значення чутливе до людей, що випадають у даних вибірки та / або до косого розподілу населення, і це використовується як обґрунтування твердження, що медіану слід віддати перевагу, коли дані не симетричні.

Наприклад:

Найкращий показник центральної тенденції для даного набору даних часто залежить від способу розподілу значень .... Коли дані не симетричні, медіана часто є найкращим показником центральної тенденції. Оскільки середнє значення чутливе до екстремальних спостережень, воно потягується у напрямку до значень зовнішніх даних, і в результаті може закінчитися надмірно завищеним або надмірно спущеним. "
—Пагано і Говрео, (2000) Принципи біостатистики , 2-е видання. (P&G були під рукою, BTW, не виділяючи їх самі по собі .)

Автори визначають таким чином "центральну тенденцію": "Найбільш часто досліджуваною характеристикою набору даних є його центр, або точка, щодо якої спостереження мають тенденцію до кластеризації".

Це вражає мене як менш прямий спосіб сказати, що використовуйте лише медіану, період , тому що використовувати лише середнє значення, коли дані / розподіли є симетричними - це те саме, що говорити, що використовувати лише середнє значення, коли воно дорівнює медіані. Редагувати: whuber справедливо вказує, що я пов'язую стійкі заходи центральної тенденції з медіаною. Тому важливо пам’ятати, що я обговорюю специфічне обрамлення середньої арифметичної та середньої медіани у вступній прикладній статистиці (де, окрім іншого, інші заходи центральної тенденції не мотивовані).

Замість того, щоб судити про корисність середнього за тим, наскільки воно відхиляється від поведінки медіани, ми повинні не просто розуміти це як дві різні міри центральності? Іншими словами, чутливість до косості є особливістю середнього. Можна так само справедливо стверджувати, що "добре, що медіана не є доброю, оскільки вона значною мірою нечутлива до косості, тому використовуйте її лише тоді, коли вона дорівнює середній".

(Режим досить розумно не втягується в це питання.)

Я не погоджуюсь із порадою як єдине правило. (Це не для всіх книг.)

Питання більш тонкі.

Якщо ви насправді зацікавлені в тому, щоб зробити висновок про середню сукупність, середня вибірка є принаймні неупередженою оцінкою і має ряд інших переваг. Справді, бачити теорему Гаусса-Маркова - це найкраще лінійно неупереджено.

Якщо ваші змінні сильно перекошені, проблема виникає з "лінійним" - в деяких ситуаціях всі лінійні оцінки можуть бути поганими, тому найкращі з них все-таки можуть бути непривабливими, тож оцінка середнього значення, яка не є лінійною, може бути кращою , але знадобиться щось знати (або навіть досить багато) про розповсюдження. У нас не завжди така розкіш.

Якщо ви не обов'язково цікавитесь висновками, що стосуються популяційного значення (" який типовий вік? "), Скажіть, чи є більш загальний зсув місцеположення від однієї сукупності до іншої, що може бути сформульовано у будь-якому місці чи навіть тест однієї змінної, що стохастично більший за інший), а потім вважає, що середня сукупність або не є необхідною, або ймовірно контрпродуктивною (в останньому випадку).

Тому я думаю, що зводиться до думки про:

• які ваші фактичні запитання? Чи означає серед населення навіть добре, про що варто запитати у цій ситуації?

• який найкращий спосіб відповісти на запитання з огляду на ситуацію (хиткість у даному випадку)? Чи використання зразка означає найкращий підхід до відповіді на наші питання, що цікавлять?

Можливо, у вас виникають запитання не безпосередньо щодо засобів популяції, але, тим не менш, вибіркові засоби - це хороший спосіб розглянути ці питання ... або навпаки - питання може бути про засоби популяції, але вибіркові засоби можуть бути не найкращим способом відповісти на це питання.

У реальному житті нам слід вибирати міру центральної тенденції, виходячи з того, що ми намагаємось з’ясувати; і так, іноді режим є правильним для використання. Іноді це середня кількість виграшених чи підстрижених. Іноді середнє геометричне або гармонічне. Іноді немає хорошої міри центральної тенденції.

Вступні книги написані погано, вони вчать, що існують правила кулінарної книги.

Візьміть дохід. Це часто дуже перекошене і іноді має пережиті; Звичайно, ми зазвичай бачимо "середній дохід". Але іноді важливими є виснаження та косоокість. Це залежить від контексту і вимагає думки.

Я написав більше про це

Навіть коли дані перекошені (наприклад, витрати на охорону здоров'я, розраховані поряд з клінічним випробуванням, де мало пацієнтів становило нульову вартість, оскільки вони помирають відразу після зарахування, а мало пацієнтів нараховували тонни витрат через побічні ефекти даної програми охорони здоров’я, що досліджується ), середня може бути віддана перевагу медіані принаймні з однієї практичної причини: примноження середньої вартості на кількість пацієнтів надає особам, які приймають рішення в галузі охорони здоров'я, бюджетним наслідком досліджуваної технології охорони здоров'я.

Я думаю, що цього питання не вистачає, як і обох відповідей, це те, що обговорення значення середнього та середнього у вступних книгах зі статистикою, як правило, відбувається на початку розділу про те, як чисельно підсумувати розподіл. На відміну від інфекційної статистики, це, як правило, стосується створення описової статистики, яка була б корисним способом передати інформацію про розподіл даних чисельно, а не графічно. Контексти, в яких це виникає, це розділ описової статистики звіту чи статті журналу, в якому загалом немає місця для графічних резюме всіх змінних у вашому наборі даних. Якщо розподіл перекошене, в цьому контексті видається розумним вибрати медіану над середнім. Якщо розподіл симетричний без залишків,