Розподіл екстремальних значень

Якщо елемент відповідає нормальному розповсюдженню, середній також слід нормальному. А як мінімум і максимум?

Ви повинні ознайомитися зі статистикою замовлень . Ось дуже короткий огляд.

Нехай - зразок розміру отриманий із сукупності з функцією розподілу та функцією щільності ймовірності . Визначте , де позначає - го порядку статистики зразка , тобто його е найменше значення. n F f Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) X ( r ) r X 1 , … X n$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Можна показати, що функція щільності спільної ймовірності є$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

y 1 < y 2 < … < y n$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ якщо і іншому випадку.$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Інтегруючи попереднє рівняння, ми отримаємо

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

Зокрема, для мінімуму та максимуму у нас відповідно

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Ви також можете прочитати про узагальненому розподілі крайніх значень (GEV) . Виявляється, що по мірі (розподілене і масштабоване) розподіл максимального значення вибірки переходить до одного з трьох особливих випадків розподілу GEV.$n\rightarrow\infty$

Сума гауссів - гауссова. Ось чому середня норма. Розподіл будь-якої нелінійної функції (безмежно багатьох) гауссів не повинен бути гауссом, і зазвичай це не так. Такий випадок максимальної функції. Щоб наблизити максимум багатоваріантного гаусса , Hothorn є хорошим місцем для початку.