Побудуйте дві функції

19

Побудуйте дві функції задовольняють: $f,g: R^+ → R^+$

$f, g$ є суцільними;
$f, g$ монотонно зростають;
$f \ne O(g)$ і . $g \ne O(f)$

asymptotics landau-notation

— Джессі
джерело

2

Чи розглядали ви можливість того, що такі функції можуть не існувати?

— jmite

Якщо обидва

логарифміко-експоненціальні, то або

або

. Більшість функцій, що зустрічаються на практиці, мають цю форму.

f, g

$f,g$

f = O (g)

$f=O(g)$

g = O (f)

$g=O(f)$

— Yuval Filmus

16

Прикладів таких функцій багато. Мабуть, найпростіший спосіб зрозуміти, як отримати такий приклад - це побудувати його вручну.

Почнемо з функції над натуральними числами, оскільки вони можуть бути безперервно завершені до дій.

Хороший спосіб переконатися, що і - чергувати їх порядки. Наприклад, ми могли б визначитись $f\neq O(g)$ $g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Тоді ми могли б поводяться протилежним за коефіцієнтами і Евен. Однак це не працює для вас, оскільки ці функції не монотонно зростають. $g$

Однак вибір був дещо довільним, і ми могли просто збільшити величини так, щоб мати монотонність. Таким чином, ми можемо придумати: $n,n^2$

, а $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Очевидно, що це монотонні функції. Також , оскільки на непарних цілих числах поводиться як тоді як поводиться як , і навпаки напередодні. $f(n)\neq O(g(n))$ $f$ $n^{2n}$ $g$ $n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Тепер все, що вам потрібно, це виконати їх до дій (наприклад, додавши лінійні частини між цілими числами, але це дійсно поруч із точкою).

Крім того, тепер, коли у вас є ця ідея, ви можете використовувати тригонометричні функції для побудови `закритих формул 'для таких функцій, оскільки і коливаються, і пік на чергування точок. $\sin$ $\cos$

— Шаул
джерело

Чи можна сказати, що

і

?

і

такі, як визначено у вашій відповіді.

f (n) \in O (n^{2 n})

$f(n) \in O(n^{2n})$

g (n) \in O (n^{2 n})

$g(n) \in O(n^{2n})$

f (n)

$f(n)$

g (n)

$g(n)$

— травень

Так. Можна навіть сказати , що

(аналогічно для

), яка сильніше , ніж

.

f (n) \leq n^{2 n}

$f(n)\le n^{2n}$

g

$g$

O

$O$

— Шаул

-3

Гарна ілюстрація для мене: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

f (н) = 2 х + с i н (х)

$f(n) =2x+sin(x)$

г (н) = 2 х + c о с (х)

$g(n) =2x+cos(x)$

f \neq О (г)

$f\neq O(g)$

г \neq О (f)

$g\neq O(f)$

— користувач15305
джерело

5

На насправді вони обидва

один від одного.

O

$O$

— Karolis Juodelė