Доказ конфлуенції для простої системи переписування

Припустимо, у нас є проста мова, яка складається з термінів:

$\mathtt{true}$
$\mathtt{false}$
якщо $t_1,t_2,t_3$ - терміни, то так само $\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$

Тепер припустимо наступні правила логічного оцінювання:

\begin{matrix} \frac{}{i f t r u e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{2}} [E-IfTrue] \frac{}{i f f a l s e t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to t_{3}} [E-IfFalse] \\ \frac{t_{1} \to t_{1}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1}^{'} t h e n t_{2} e l s e t_{3}} [E-If] \end{matrix}

$\begin{gather*} \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{true} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_2} \text{[E-IfTrue]} \quad \dfrac{} {\mathtt{if}\: \mathtt{false} \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to t_3} \text{[E-IfFalse]} \\ \dfrac{t_1 \to t_1'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1' \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-If]} \\ \end{gather*}$

Припустимо, ми також додамо наступне функціональне правило:

\frac{t_{2} \to t_{2}^{'}}{i f t_{1} t h e n t_{2} e l s e t_{3} \to i f t_{1} t h e n t_{2}^{'} e l s e t_{3}} [E-IfFunny]

$\dfrac{t_2 \to t_2'} {\mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3 \to \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2' \:\mathtt{else}\: t_3} \text{[E-IfFunny]}$

Для цієї простої мови із заданими правилами оцінювання я хочу довести наступне:

Теорема: Якщо і то існує деякий термін такий, що і . $r \rightarrow s$ $r \rightarrow t$ $u$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

Я доводжу це індукцією на структуру . Ось мій доказ поки що, все склалося добре, але я застряг у самій останній справі. Здається, що індукція на структуру не є достатньою, може хтось мені допоможе? $r$ $r$

Доказ. Індукцією на ми відокремимо всі форми, які може приймати : $r$ $r$

- константа, нічого доказувати, оскільки нормальна форма нічого не оцінює. $r$
якщо істинне, то else . (а) обидва виведення були виконані за правилом E-IfTrue. У цьому випадку , тому доводити нічого немає. (b) одне виведення було зроблено за правилом E-IfTrue, а інше - правилом E-Funny. Припустимо, що було зроблено за допомогою E-IfTrue, інший випадок настільки ж доведений. Тепер ми знаємо, що . Ми також знаємо, що якщо істинне, то else і що існує деяке виведення $r=$ $r_2$ $r_3$ $s=t$ $r \rightarrow s$ $s = r_2$ $t =$ $r'_2$ $r_3$ (приміщення). Якщо тепер виберемо , то закінчимо випадок. $r_2 \rightarrow r'_2$ $u = r'_2$
якщо false, то else . Еквівалентно доведено, як зазначено вище. $r=$ $r_2$ $r_3$
якщо то else з вірно або помилково. (а) обидві деривації були зроблені за правилом E-If. Тепер ми знаємо, що якщо то іще а якщо то іначе . Ми також знаємо, що існує деривація $r=$ $r_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \neq$ $s =$ $r'_1$ $r_2$ $r_3$ $t =$ $r''_1$ $r_2$ $r_3$ $r_1 \rightarrow r'_1$ і (приміщення). Тепер ми можемо використовувати гіпотезу про індукцію, щоб сказати, що існує деякий термін такий, що і . Тепер ми закінчуємо випадок, сказавши якщо то else і помічаючи, що і $r_1 \rightarrow r''_1$ $r'''_1$ $r'_1 \rightarrow r'''_1$ $r''_1 \rightarrow r'''_1$ $u =$ $r'''_1$ $r_2$ $r_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$ за правилом E-If (b) одне виведення було здійснено за допомогою правила E-If і одне за правилом E-Funny.

Останній випадок, коли одне виведення було зроблено E-If, а інше E-Funny - це той випадок, якого я пропускаю ... Я, здається, не можу використовувати гіпотези.

Допомога буде дуже вдячна.

— тріска
джерело

@Gilles надзвичайно добре зробив з редагуванням. Я не знав, що двигун TeX SE на все це здатний ... :-)

— codd

Я помиляюся, або ця вправа взята з Пірса "Типи та мови програмування"?

— Фабіо Ф.

@FabioF. Це дійсно з книги "Пірси про типи та мови програмування". Він надає доказ того, що я вважаю незрозумілим через те, як він виконує індукцію. Тому я спробував це довести сам за допомогою індукції на будові. Я думав згадати, що це було з книги, але я вважав, що це буде неактуально. Однак добре помічено!

— codd

Відповіді:

Гаразд, тож давайте розглянемо випадок, що , отримано за допомогою правила E-If, а отримано за допомогою правила E-Funny: Отже, $r = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s$ $t$ де і $s = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_1 \rightarrow t'_1$ де . $t = \mathtt{if}\: t_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $t_2 \rightarrow t'_2$

якого ми шукаємо є $u$ . випливає з правила E-Funny, а випливає з правила E-If. $u = \mathtt{if}\: t'_1 \:\mathtt{then}\: t'_2 \:\mathtt{else}\: t_3$ $s \rightarrow u$ $t \rightarrow u$

— sepp2k
джерело

Бий мене до цього. Хороша робота.

— Patrick87

Боже, я дуже заглядав ... Спасибі!

— codd

Ти змішав їх, хоча

випливає з E-Funny. Або я бачу щось не так?

s \to u

$s \rightarrow u$

— codd

@Jeroen Ти маєш рацію - я їх переплутав. Виправлено зараз.

— sepp2k

Трохи термінологія може допомогти, якщо ви хочете переглянути це: ці правила є правилами переписування , вони не мають нічого спільного з типами систем¹. Властивість, яку ви намагаєтесь довести, називається злиттям ; Більш конкретно, це сильне злиття : якщо термін можна скоротити по-різному на одному кроці, вони можуть сходитися назад на наступному кроці. Взагалі, злиття дозволяє робити будь-яку кількість кроків, а не лише один: якщо і то є таке, що і $r\to^*s$ $r\to^*t$ $u$ $s\to^*u$ $t\to^*u$ - якщо термін можна скоротити різними способами, незалежно від того, наскільки вони розійшлися, вони можуть врешті повернутися назад.

Найкращий спосіб довести властивість таких індуктивно визначених правил переписування - це індукція над структурою деривації скорочення, а не структура скороченого терміна. Тут або працює, тому що правила відповідають структурі лівого терміна, але міркування щодо правил простіше. Замість того, щоб зануритися в термін, ви берете всі пари правил і бачите, який термін може бути лівою частиною для обох. У цьому прикладі ви отримаєте ті самі справи в підсумку, але трохи швидше.

У випадку, коли виникають проблеми, одна сторона зменшує частину "якщо", а інша - "тоді". Між двома частинами, які змінюються ( в [E-If], в [E-IfFunny]), немає ніяких перекриттів, і немає обмежень на в [E-If] або на в [E- IfFunny]. Тож, коли у вас є термін, на який поширюються обидва правила - він повинен мати форму $t1$ $t_2$ $t_2$ $t_1$ , ви можете застосувати правила в будь-якому порядку: $\mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3$

\begin{array}{rcl} i f r_{1} t h e n r_{2} e l s e r_{3} \\ [E-If] ↙ & ↘ [E-IfFunny] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2} e l s e r_{3} & i f r_{1} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \\ [E-IfFunny] ↘ & ↙ [E-If] \\ i f r_{1}^{'} t h e n r_{2}^{'} e l s e r_{3} \end{array}

$\begin{array}{rcl} & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ {\small \text{[E-If]}} \swarrow & & \searrow {\small \text{[E-IfFunny]}} \\ \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2 \:\mathtt{else}\: r_3 & & \mathtt{if}\: r_1 \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 \\ {\small \text{[E-IfFunny]}} \searrow & & \swarrow {\small \text{[E-If]}} \\ & \mathtt{if}\: r_1' \:\mathtt{then}\: r_2' \:\mathtt{else}\: r_3 & \\ \end{array}$

Sometimes _{Іноді ви побачите типи та переписування разом, але в їх основі - це ортогональні концепції.}

— Жил "ТАК - перестань бути злим"
джерело