Асимптотика кількості слів у звичайній мові заданої довжини

Для звичайного мови , нехай , як число слів в довжини . Використовуючи канонічну форму Йордану (застосовану до неозначеної матриці переходу деякої DFA для ), можна показати, що для досить великих , де - складні многочлени, а - складні "власні значення". (Для малих ми можемо мати додаткові умови форми , де дорівнює якщо іc n ( L ) L n L n c n ( L ) = k ∑ i = 1 P i ( n ) λ n i , P i λ i n C k [ n = k ] [ n = k ] 1 n = k $L$$c_n(L)$$L$$n$$L$$n$

$$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$$ $P_i$$\lambda_i$$n$$C_k[n=k]$$[n=k]$$1$$n=k$$0$інакше. Вони відповідають іорданським блокам розміром принаймні із власним значенням )$k+1$$0$

Це уявлення означає, що якщо нескінченно, тоді асимптотично для деякого . Однак це явно хибно: для мови понад всіх слів рівної довжини, але . Це говорить про те, що для деякого і для всіх або для достатньо великих або . Це доведено у Flajolet & Sedgewickc n ( L ) ∼ C n k λ n C , λ > 0 L { 0 , 1 } c 2 n ( L ) = 2 2 n c 2 n + 1 ( L ) = 0 d a ∈ { 0 , … , d - 1 } c d m + a$L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$m c d $c_{dm+a}(L) = 0$$m$$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Теорема V.3), який приписує доказ Берстелю.

Доказ, який надають Флайолет та Седжвік, є дещо технічним; насправді настільки технічні, що вони лише замальовують це. Я спробував більш елементарний доказ, використовуючи теорію Перрона-Фробеніуса. Графік переходу DFA ми можемо розглядати як диграф. Якщо диграф примітивний, то результат випливає майже безпосередньо з теореми Перрона-Фробеніуса. Якщо диграф непридатний, але непримітний з індексом , то, розглядаючи " ту потужність" DFA (кожен перехід відповідає символам), ми отримуємо той самий результат. Важкий випадок, коли диграф зменшується. Ми можемо звести до випадку шляху сильно з’єднаних компонентів, і тоді отримаємо результат, оцінивши суми форми r r ∑ m 1 + ⋯ + m k = m k ∏ i = 1$r$$r$$r$

$$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$$ (Кожна така сума відповідає певному способу прийняття слова, певним чином проходячи різні компоненти.) Цю суму, у свою чергу, можна оцінити, визначивши найбільший термін, який відповідає . Для кожного власного значення, яке повторюється разів, ми отримуємо додатковий коефіцієнт . r $m_i \propto \log \lambda_i$$r$$\Theta(m^{r-1})$

Доказ має грубі краї: у зворотному випадку нам потрібно переходити від термінів асимптотичних до до зазначеної вище суми, а потім нам потрібно оцінити суму.$C \lambda_i^m$

Доказ Флайолета та Седжевіка, можливо, простіший, але менш елементарний. Його вихідною точкою є раціональна генеруюча функція , і вона передбачає індукцію на кількість полюсних величин (!). Основна ідея полягає в тому, що всі власні значення максимального модуля є корінням єдності (якщо нормалізувати їх модуль), завдяки (помірно легкій) теоремі Берстеля. Вибираючи відповідне і переглядаючи слова довжини , всі ці власні значення стають справжніми. Розглядаючи часткове розширення дробу, отримуємо, що якщо власне значення максимального модуля "виживає", то воно визначає асимптотики, що мають виглядd d m + a C n $c_n(L)$$d$$dm+a$$Cn^k\lambda^n$. В іншому випадку ми знаходимо нову раціональну функцію генерування, яка відповідає лише словам такої довжини (використовуючи добуток Адамара), і повторюємо аргумент. Вищезазначена кількість постійно зменшується, і, врешті-решт, ми знаходимо бажані асимптотики; можливо, доведеться зростати в процесі, щоб відображати все, що відбувається в індуктивних кроках.$d$

Чи є простий і елементарний доказ асимптотичної властивості ?$c_n(L)$

Аргумент, який ви накреслили, схоже, відповідає трактуванню Річардом Стенлі методом Перенесення-матриця в переліку комбінаторики, Том 1 (посилання: с. 573; друк: С. 500).

Він починає з функції, що генерує, і розпаковує її, розглядаючи графіки та допустимі та заборонені фактори. Потім він резюмує безкоштовні моноїди, де використовує вдосконалену версію сум, які ви дали для доведення:

$B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Опрацювавши деякі програми, він також закриває розділ, обговорюючи продукти Адамара стосовно горизонтально-опуклих поліоміно.