Чи всі проблеми лінійного програмування Integer NP-Hard?

Як я розумію, проблема присвоєння є в P, оскільки угорський алгоритм може вирішити її в поліноміальний час - O (n ³ ). Я також розумію, що проблема присвоєння є цілою лінійною проблемою програмування , але на сторінці Вікіпедії зазначено, що це NP-Hard. Для мене це означає, що проблема присвоєння полягає в NP-Hard.

Але, безумовно, проблема призначення не може бути як в P, так і в NP-Hard, інакше P дорівнюватиме NP? Чи просто сторінка Вікіпедії означає, що загальний алгоритм вирішення всіх проблем ILP є NP-Hard? Декілька інших джерел стверджують, що ILP є NP-Hard, тому це насправді бентежить моє розуміння класів складності загалом.

Якщо проблема є NP-Hard, це означає, що існує клас примірників цієї проблеми, які є NP-Hard. Цілком можливо, що інші конкретні класи екземплярів можуть бути вирішеними в поліноміальний час.

Розглянемо для прикладу проблему пошуку 3-х кольоровості графіка . Це відома проблема NP-Hard. Тепер уявіть, що його екземпляри обмежені лише графіками, які є, наприклад, деревами. Зрозуміло, що ви можете легко знайти триколірне дерево в поліноміальний час (дійсно, ви також можете знайти двоколірне).

Розгляньте проблеми з рішенням на секунду. Метод доведення твердості проблеми рішення$P$розглядає скорочення полінома (Карпа) з іншої проблеми$Q$що, як відомо, NP-Hard. У цьому зменшенні ви показуєте, що існує функція$f$ що відображає кожен екземпляр $q$ проблеми $Q$ до екземпляра проблеми $P$ такий як: $q$ - це екземпляр так для $Q \iff f(q)$ - це екземпляр так для $P$. Це означає, що рішення$f(q)$ повинні бути "принаймні такими ж важкими", як і рішення $q$ себе.

Зверніть увагу, як це не потрібно для зображення зображення $f$ бути рівним набору екземплярів $P$. Тому це цілком можливо для проблеми$P$ обмежений для деяких підмножин екземплярів, щоб не бути важким.

Щоб повернутися до початкового питання:

• Проблема присвоєння може бути вирішена в поліноміальний час, тобто рішення кожного примірника задачі може бути обчислено в поліноміальний час.
• ILP є важким NP: загалом, може бути важко обчислити рішення проблеми ILP, тобто є важкі випадки ILP.
• Деякі конкретні екземпляри ILP можуть бути вирішені за багаточлен.

Ні, особливі випадки можуть бути простішими.

Розглянемо, наприклад, даний IP $a_i \geq 0$ для $i \in [1..n]$:

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

вул $\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
і $\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$ для $i \in [1..n]$.

Він знаходить мінімум серед $a_1, \dots, a_n$ (те, для чого, неминуче, $x_i=1$в оптимальному рішенні). Знаходження мінімуму$n$ числа явно є поліноміальною проблемою.

Ви можете моделювати поліноміально розв'язувану задачу як ІР. Це не означає, що проблема є важкою для NP. Це просто означає, що не існує відомого поліноміального алгоритму для вирішення ІР-моделі вашої проблеми (якщо тільки P = NP).

Отже, як ви запропонували, проблема присвоєння лежить в P, але ваша IP-модель для неї непроста.

Ні, існує особливий різновид цілочисельної програми, якщо матриця обмеження є TUM (повністю одномодульна матриця), то вона може бути розслаблена в лінійну програму, яку можна вирішити в поліноміальний час.

Проблема присвоєння - це не ILP, а проблема LP, а отже, не є важкою для NP.