Експресувати булеві логічні операції в лінійному програмуванні нульового цілого цілого (ILP)

У мене є ціла лінійна програма (ILP) з деякими змінними , які призначені для відображення булевих значень. S »обмежені цілими числами і тримати або 0 , або 1 ( ).x i 0 ≤ x i ≤ $x_i$$x_i$$0 \le x_i \le 1$

Я хочу висловити булеві операції на цих змінних 0/1, використовуючи лінійні обмеження. Як я можу це зробити?

Більш конкретно, я хочу встановити (булева І), (булева АБО) та (булева НЕ). Я використовую очевидну інтерпретацію 0/1 як булеві значення: 0 = хибно, 1 = істинно. Як мені написати обмеження ILP, щоб переконатися, що пов'язані з бажанням ?y 2 = x 1 ∨ x 2 y 3 = ¬ x 1 y i x $y_1 = x_1 \land x_2$$y_2 = x_1 \lor x_2$$y_3 = \neg x_1$$y_i$$x_i$

(Це може розглядатися як запит про скорочення з CircuitSAT до ILP або прохання способу виразити SAT як ILP, але тут я хочу побачити явний спосіб кодування логічних операцій, показаних вище.)

Логічні І: Використовуйте лінійні обмеження $y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$ , $y_1 \le x_1$ , $y_1 \le x_2$ , $0 \le y_1 \le 1$ , де $y_1$ обмежено цілим числом. Це нав'язує бажані відносини. (Досить акуратно, що ви можете це зробити з просто лінійними нерівностями, так?)

Логічні АБО: Використовуйте лінійні обмеження $y_2 \le x_1 + x_2$ , $y_2 \ge x_1$ , $y_2 \ge x_2$ , $0 \le y_2 \le 1$ , де $y_2$ обмежене цілим числом.

Логічний НЕ: Використовуйте $y_3 = 1-x_1$ .

Логічне значення: Щоб виразити $y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$ (тобто, $y_4 = \neg x_1 \lor x_2$ ), ми можемо адаптувати побудову для логічного АБО. Зокрема, використовуйте лінійні обмеження $y_4 \le 1-x_1 + x_2$ , $y_4 \ge 1-x_1$ , $y_4 \ge x_2$ , $0 \le y_4 \le 1$ , де$y_4$ обмежене цілим числом.

Вимушене логічне значення: Щоб виразити, що $x_1 \Rightarrow x_2$ має виконуватися, просто використовуйте лінійне обмеження $x_1 \le x_2$ (припускаючи, що $x_1$ і $x_2$ вже обмежені булевими значеннями).

XOR: Щоб виразити $y_5 = x_1 \oplus x_2$ (виключне або $x_1$ і $x_2$ ), використовуйте лінійні нерівності $y_5 \le x_1 + x_2$ , $y_5 \ge x_1-x_2$ , $y_5 \ge x_2-x_1$ , $y_5 \le 2-x_1-x_2$ , $0 \le y_5 \le 1$ , де$y_5$ обмежене цілим числом.

І, як бонус, ще одна методика, яка часто допомагає формулювати проблеми, що містять суміш нульових (булевих) змінних і цілих змінних:

Передача на булеву (версія 1): Припустимо, у вас є ціла змінна $x$ , і ви хочете визначити $y$ так, що $y=1$ якщо $x \ne 0$ і $y=0$ якщо $x=0$ . Якщо ви додатково знаєте, що $0 \le x \le U$ , то ви можете використовувати лінійні нерівності $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $x \le Uy$ ; однак це працює лише у тому випадку, якщо ви знаєте верхню та нижню межі$x$ . Або, якщо ви знаєте, що$|x| \le U$ (тобто$-U \le x \le U$ ) для деякої постійної$U$ , тоді можна використовувати описанийтутметод. Це застосовується лише в тому випадку, якщо ви знаєте верхню межу на$|x|$.

У ролях булевих (версія 2): Розглянемо ту саму мету, але тепер ми не знаємо верхньої межі на $x$ . Однак припустимо, що ми знаємо, що $x \ge 0$ . Ось як ви могли б висловити це обмеження в лінійній системі. Спочатку введіть нову цілу змінну $t$ . Додайте нерівності $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $t=x-y$ . Потім виберіть цільову функцію, щоб ви мінімізували $t$ . Це працює лише в тому випадку, якщо ви ще не мали об'єктивної функції. Якщо у вас є $n$невід’ємні цілі змінні $x_1,\dots,x_n$ і ви хочете передати їх всім булевим, так що $y_i=1$ якщо $x_i\ge 1$ і $y_i=0$ якщо $x_i=0$ , то ви можете ввести $n$ змінні $t_1,\dots,t_n$ з нерівностями $0 \le y_i \le 1$ , $y_i \le x_i$ ,$t_i=x_i-y_i$ і визначити цільову функцію для мінімізації$t_1+\dots + t_n$ . Знову ж таки, це працює лише, інакше не потрібно визначати об'єктивну функцію (якщо, окрім залишків булевих, ви планували просто перевірити доцільність результуючого ILP, а не намагатися мінімізувати / максимізувати деяку функцію змінних).

Для деяких відмінних проблем з практикою та прикладів роботи я рекомендую формувати цілісні лінійні програми: Галерея шахраїв .

Логічне відношення AND може моделюватися в одному обмеженні діапазону замість трьох обмежень (як в іншому рішенні). Тож замість трьох обмежень його можна записати, використовуючи обмеження для одного діапазону 0 ≤ x 1 + x 2 - 2 y 1 ≤

ДЛЯ НЕ, такого покращення немає.

$y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$

Я знайшов коротший розв’язок для XOR y = x1⊕x2 (x і y - двійкові 0, 1)

лише один рядок: x1 + x2 - 2 * z = y (z - будь-яке ціле число)