Як обговорити коефіцієнти в нотації big-O

Які позначення використовуються для обговорення коефіцієнтів функцій у нотації big-O?

У мене дві функції:

• $f(x) = 7x^2 + 4x +2$
• $g(x) = 3x^2 + 5x +4$

Очевидно, що обидві функції є $O(x^2)$ , дійсно $\Theta(x^2)$ , але це не дозволяє порівняти далі. Як я обговорюю коефіцієнти 7 і 3. Зниження коефіцієнта до 3 не змінює асимптотичну складність, але все ще має значну різницю для використання часу виконання / використання пам'яті.

Це неправильно сказати , що $f$ є $O(7x^2)$ і $g$ становить $O(3x^2)$ ? Чи є інші позначення, які враховують коефіцієнти? Або який був би найкращий спосіб обговорити це?

Big- і big- & thetas нотації приховати коефіцієнти провідного члена, тому якщо у вас є дві функції , які є як thetas ; ( п 2 ) ви не можете порівняти їх абсолютні значення , не дивлячись на самих функцій. Неправильно сказати, що 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 7 x 2 ) , але це не інформативно, оскільки 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 3 x 2$O$$\Theta$$\Theta(n^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(7x^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(3x^2)$також вірно (і насправді це для будь-якої позитивної постійної k ).$\Theta(kx^2)$$k$

Є й інші позначення, які ви можете використовувати замість цього. Наприклад, позначення є набагато сильнішим твердженням, ніж велике Θ :$\sim$$\Theta$

$\qquad \displaystyle f(x) \sim g(x) \iff \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Наприклад, , але твердження було б помилковим. Ви можете вважати позначення тильди як позначення що зберігає провідні коефіцієнти, що, здається, саме те, що ви шукаєте, якщо вам важливо провідний коефіцієнт домінуючого терміну зростання. 7 x 2 + 4 x + 2 ∼ 3 x 2$7x^2 + 4x + 2 \sim 7x^2$$7x^2 + 4x + 2 \sim 3x^2$$\Theta$

Тильда - це один підхід. Якщо ви хочете дотримуватися , ви можете сказати$O$

і$\qquad f(x) = 7x^2 + O(x)$

.$\qquad g(x) = 3x^2 + O(x)$