Що Ідріс не може зробити, відмовившись від повноти Тьюрінга?

Я знаю, що Ідріс має залежні типи, але не закінчується. Чого не можна зробити, відмовившись від повноти Тьюрінга, і це пов'язано з наявністю залежних типів?

Я думаю, це досить специфічне питання, але я не знаю величезної кількості про залежні типи та пов'язані системи типів.

Ідріс - Тюрінг завершений! Він перевіряє сукупність (припинення при програмуванні з даними, продуктивність при програмуванні з коданими), але не вимагає, щоб все було загальним.

Цікаво, що наявності даних і кода даних досить для моделювання повноти Тьюрінга, оскільки ви можете написати монаду для часткових функцій. Я робив це років тому в Coq - це, мабуть, до цього часу пошкоджено, але ось все-таки: http://eb.host.cs.st-andrews.ac.uk/Partial/partial.v .

Вам потрібна одна втеча, щоб насправді запускати такі речі, але Ідріс дозволяє вам це зробити.

Idris не зменшить часткові функції на рівні типу для того, щоб перевірка типу не була вирішальною. Крім того, лише до загальних програм можна вважати доказом.

По-перше, я припускаю, що ви вже чули про тезу Церкви Тьюрінга , в якій говориться, що все, що ми називаємо «обчисленням», - це те, що можна зробити за допомогою машини Тьюрінга (або будь-якої з багатьох інших еквівалентних моделей). Таким чином, повна мова Тьюрінга - це мова, в якій можна виразити будь-які обчислення. І навпаки, мова неповноти Тьюрінга - це мова, в якій є деякі обчислення, які неможливо виразити.

Гаразд, це було не дуже інформативно. Дозвольте навести приклад. Є одна річ, яку ви не можете зробити ні на якій неповній мові Тьюрінга: ви не можете написати тренажер машини Тьюрінга (інакше ви могли б кодувати будь-які обчислення на модельованій машині Тьюрінга).

Гаразд, що все ще було не дуже інформативно. справжнє питання полягає в тому, яка корисна програма не може бути написана неповноцінною мовою Тьюрінга? Ну, ніхто не придумав визначення "корисної програми", що включає всі програми, які хтось десь написав для корисної мети, і це не включає всі обчислення машин Тьюрінга. Тому проектування неповної мови Тьюрінга, на якій можна писати всі корисні програми, все ще є дуже довготерміновою метою дослідження.

Зараз існує декілька дуже різних мов неповного тюрінга, і вони відрізняються тим, що не можуть зробити. Однак існує загальна тема: Мови, які закінчують Тьюрінг, повинні містити певний спосіб умовно припинити або продовжувати час, який не обмежений розміром програми, і спосіб використовувати програму кількість пам'яті, що залежить від введення даних . Конкретніше, більшість імперативних мов програмування забезпечують ці можливості за допомогою циклів while і динамічного розподілу пам'яті відповідно. Більшість функціональних мов програмування забезпечують ці можливості завдяки рекурсії та введенню структури даних.

Ідріс сильно натхненний Агдою . Агда - мова, призначена для доведення теорем . Зараз доведення теорем та запущених програм дуже тісно пов'язані , тож ви можете писати програми в Агді так само, як доводити теорему. Інтуїтивно, доказ теореми «A означає B» - це функція, яка приймає доказ теореми A як аргумент і повертає доказ теореми B.

Оскільки метою системи є доведення теорем, ви не можете дозволити програмісту писати довільні функції. Уявіть, що мова дозволила вам написати дурну-рекурсивну функцію, яка щойно називала себе:

oops : A -> B
oops x = oops x

Ви не можете дозволити існуванню такої функції переконати вас, що A має на увазі B, інакше ви зможете довести що-небудь, а не лише справжні теореми! Так Агда (і подібні докази теореми) забороняють довільну рекурсію. Коли ви пишете рекурсивну функцію, ви повинні довести, що вона завжди припиняється , так що коли ви запустите її на доказ теореми А, ви знаєте, що вона побудує доказ теореми B.

Безпосереднім практичним обмеженням Agda є те, що ви не можете записувати довільні рекурсивні функції. Оскільки система повинна бути в змозі відхиляти всі незакінчені функції, невизначуваність проблеми зупинки (або загалом теорему Райса ) забезпечує наявність функцій завершення, які також відкидаються. Додаткова практична складність полягає в тому, що вам потрібно допомогти системі довести, що ваша функція припиняється.

Проводиться багато досліджень щодо того, щоб зробити доказові системи більш схожими на мову програмування, не порушуючи їх гарантії, що якщо у вас функція від A до B, це так само добре, як математичний доказ, що A передбачає B. Розширення системи на прийняття більше припинення функцій - одна з тем дослідження. Інші напрямки розширення включають подолання таких проблем у реальному світі, як введення / виведення та одночасність. Інша проблема полягає в тому, щоб зробити ці системи доступними для простих смертних (або, можливо, переконати простих смертних у тому, що вони насправді доступні).

Я не знайомий з Ідрісом. Це питання, про яке я згадав. Наскільки я розумію з побіжного погляду на переддрук 2013 року , Ідріс є повним Тьюрінгом, але включає перевірку сукупності. Перевірка сукупності перевіряє, що кожна функція, позначена ключовим словом, totalзакінчується. Мовний фрагмент, що містить лише програми Idris, де кожна функція є тотальною, виразною силою схожа на Arda (напевно, не точна відповідність через відмінності в теорії типів, але достатньо близька, що ви б не помітили, якщо б навмисно не намагалися).

Щодо інших прикладів мов, які по-різному не закінчують Тьюрінга, див. Які практичні обмеження такої неповної мови, як Coq? (звідки ця відповідь значною мірою взята).