Що таке

Я дивлюся на Облік споруд та його місце в кубі Ламбди .

Якщо я правильно розумію, кожну вісь куба можна вважати додаванням ще однієї операції, що включає типи, для просто набраного числення, $\lambda_\to$ . Перша вісь додає операторів типу-до-терміна, друга операторів типу-типу, а третя-операторів, що залежать від типу, або термінів-тип-операторів. У КоК є всі три.

Однак КоК вводить термін $Prop$ і заявляє, що $Prop : Type$ за правилами виведення , але інакше не використовується. Я розумію, що це стосується однойменних пропозицій, але логічні умови цього не визначаються.

Чи можете ви пояснити мені, що таке $Prop$ , де / коли воно з’являється, і пояснити це через осі куба (якщо це дійсно можливо)?

— Майкл Роусон
джерело

У традиційній теорії типу Мартіна-Лефа не існує різниці між типами і пропозиціями. Це під гаслом "пропозиції як види". Але іноді є причини їх розрізнення. CoC робить саме це.

Варіантів КоК існує багато, але більшість мали б але не . Ще одна відмінність виявляється, коли ми маємо нескінченно багато всесвітів типу і робимо непередбачуваним (це робить Coq). Конкретно розглянемо варіант КоК, де маємо і нескінченно багато всесвітів типу ,

П r о p : Т у p е

$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$

T y p e : P r o p

$\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

{T y p e}_{3}

$\mathsf{Type}_3$

Правило утворення для

повинно пояснювати, як утворити

коли

є пропозицією або типом, а

- або пропозицією, або типом. Існує чотири комбінації:

\begin{aligned} P r o p & : {T y p e}_{1} \\ {T y p e}_{1} & : {T y p e}_{2} \\ {T y p e}_{2} & : {T y p e}_{3} \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$

\prod

$\prod$

\prod_{x : A} B (x)

$\prod_{x : A} B(x)$

A

$A$

B (x)

$B(x)$

$\frac{А : П r о p х : А ⊢ Б (х) : П r о p}{\prod_{х : А} Б (х) : П r о p}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{А : {Т у p е}_{i} х : А ⊢ Б (х) : П r о p}{\prod_{х : А} Б (х) : П r о p}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$
$\frac{А : П r о p х : А ⊢ Б (х) : {Т у p е}_{i}}{\prod_{х : А} Б (х) : {Т у p е}_{i}}$ $\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$
$\frac{А : {Т у p е}_{i} х : А ⊢ Б (х) : {Т у p е}_{j}}{\prod_{х : А} Б (х) : {Т у p е}_{макс (i, j)}}$ $\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$

Найцікавішою є різниця між другим та четвертим випадком. Четверте правило говорить про те, що якщо знаходиться в -й Всесвіті, а - в -й Всесвіті, то добуток знаходиться у -ві Всесвіті. Але друге правило говорить нам, що як тільки $A$ $i$ $B(x)$ $j$ $\max(i,j)$ - ценепросто "ще одна всесвіт на дні", тому що приземляється в $\mathsf{Prop}$ $\prod_{x : A} B(x)$ $\mathsf{Prop}$ $B(x)$ не робить, незалежно від того , наскільки великий є. Це непередбачувано, оскільки дозволяє нам визначати елементи шляхом кількісного визначення над самим . $A$ $\mathsf{Prop}$ $\mathsf{Prop}$

Конкретним прикладом може бути проти Перший продукт живе в , а другий - у (і не в , навіть якщо ми кількісно визначаємо елемент

\prod_{А : {Т у p е}_{1}} А \to А

$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$

\prod_{А : П r о p} А \to А

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

{T y p e}_{2}

$\mathsf{Type}_2$

P r o p

$\mathsf{Prop}$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

{T y p e}_{1}

$\mathsf{Type}_1$

A

$A$

\prod_{A : P r o p} A \to A

$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$

— Андрій Бауер
джерело