Чи конструктивна індукція шляху?

17

Я читаю книгу HoTT, і мені важко індукувати шлях.

Коли я дивлюся на тип у розділі 1.12.1 : я не маю жодних проблем з розумінням того, що це означає (я просто записав тип із пам'яті, щоб перевірити це).

{ind}_{=_{A}} : \prod_{C : \prod_{x, y : A} (x =_{A} y) \to U} ((\prod_{x : A} C (x, x, {refl}_{x})) \to \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p)),

$\text{ind}_{=_A}:\prod_{C:\prod\limits_{x,y:A}(x=_Ay)\to \mathcal{U}} \left( \left(\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)\right) \to \prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p) \right),$

Що у мене виникло питання - це наступне твердження: моє перше враження полягало в тому, що цей останній вираз не визначає отриману функцію а просто констатує її власність .

with the equality {ind}_{=_{A}} (C, c, x, x, {refl}_{x}) :\equiv c (x)

$\text{with the equality}\quad \text{ind}_{=_A}(C,c,x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

f : \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p),

$f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$

Це на відміну від попередніх прикладів принципів індукції , або - там є визначення рівняння для цих елементів - ми на насправді знаємо , як побудувати результуючу функцію, враховуючи приміщення. Що узгоджується з "конструктивністю" теорії типів, оголошеною у всій главі. $\text{ind}_{A\times B}$ $\text{ind}_{A+B}$ $\text{ind}_\mathbb{N}$

Повертаючись до $\text{ind}_{=_A}$ , я підозріло ставився до того, що (схоже) він не визначений. Заявивши, що елемент $f$ просто існує, здавалося, не співпадає з рештою глави. І справді, розділ 1.12.1, схоже, підкреслює, що моє враження неправильне і ми насправді визначилися

... функція визначається індукцією шляху з , який більше задовольняє ... $f:\prod_{x,y:A}\prod_{p:x=_Ay} C(x,y,p),$
$c:\prod_{x:A}C(x,x,\text{refl}_x)$
$f(x,x,\text{refl}_x):\equiv c(x)$

Це залишає мене зовсім розгубленим, але я маю відчуття, що цей момент дуже важливий для всіх подальших подій. Тож із яким читанням для я повинен пройти? Або, напевно, я пропускаю якусь важливу тонкість, і відповідь - "ні"? $\text{ind}_{=_A}$

induction dependent-types homotopy-type-theory

— Костя
джерело

До речі, це насправді не специфічне для HoTT питання, а більш загальне питання "залежних типів".

— коді

12

Це ілюзія, що правила обчислення "визначають" або "конструюють" об'єкти, про які вони говорять. Ви правильно зауважили, що рівняння для не "визначає" це, але не помічає, що те саме є і в інших випадках. Розглянемо принцип індукції для блоку типу , який видається особливо очевидно «визначеним». Згідно з розділом 1.5 книги HoTT у нас є з рівняння Це "визначає" чи "конструює" у тому сенсі, що це не залишає сумнівів щодо того, що "робить"? Наприклад, встановити $\mathrm{ind}_{=_A}$ $1$

{i n d}_{1} : \prod_{C : 1 \to T y p e} C (⋆) \to \prod_{x : 1} P (x)

$\mathrm{ind}_1 : \prod_{C : 1 \to \mathtt{Type}} C(\star) \to \prod_{x : 1} P(x)$

{i n d}_{1} (C, c, ⋆) = c .

$\mathrm{ind}_1 (C, c, \star) = c.$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

C (x) = N

$C(x) = \mathbb{N}$ і , і розглянемо, що можна сказати про для заданого виразу типу . Вашою першою думкою може бути те, що ми можемо зменшити це до оскільки " є єдиним елементом ". Але якщо бути досить точним, рівняння для застосовується лише в тому випадку, якщо ми покажемо , що неможливо, наприклад, коли є змінною. Ми можемо спробувати вийти з цього і сказати, що нас цікавлять тільки обчислення із закритими термінами, тому слід закрити.

a = 42

$a = 42$

{i n d}_{1} (C, 42, e)

$\mathrm{ind}_1(C, 42, e)$

e

$e$

1

$1$

42

$42$

⋆

$\star$

1

$1$

{i n d}_{1}

$\mathrm{ind}_1$

e \equiv ⋆

$e \equiv \star$

e

$e$

e

$e$

Чи не так, що кожен закритий член типу судження є рівним ? Це насправді залежить від неприємних деталей і складних доказів нормалізації. У разі HOTT відповідь «ні» , тому що не може містити екземпляри унівалентностью Axiom, і це не ясно , що робити , щоб про це (це відкрита проблема в HOTT). $e$ $1$ $\star$ $e$

Ми можемо обійти проблеми з univalance, розглядаючи варіант теорії типу , яка робить добрі властивості , так що кожні замкнуті терми типу є суб'єктивно рівні . У цьому випадку було б справедливо сказати , що ми дійсно знаємо , як обчислити з , але: $1$ $\star$ $\mathrm{ind}_1$

Ж матиме місце для типу ідентичності, тому що кожен замкнутий член типу ідентичності буде суб'єктивно одно деякими , і так , то рівняння для буде сказати , нам, як обчислити. $\mathrm{refl}(a)$ $\mathrm{ind}_{=_A}$
Просто тому, що ми знаємо, як обчислити закриті терміни типу, це не означає, що ми насправді щось визначили, тому що тип має більше, ніж його закриті терміни , як я намагався пояснити одного разу.

Наприклад, теорію типів Мартіна-Лефа (без типів ідентичності) можна інтерпретувати теоретично домену таким чином, що містить два елементи і , де відповідає і не припиняючи. На жаль, оскільки немає можливості записати незакінчуваний вираз у теорії типів, не можна назвати. Отже, рівняння для зовсім НЕ говорить нам , як обчислити на (два очевидних варіанту є «жадібністю» і «ледачим»). $1$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\star$ $\bot$ $\bot$ $\mathrm{ind}_1$ $\bot$

У плані інженерії програмного забезпечення, я б сказав, що ми маємо плутанину між специфікацією та реалізацією . Аксіоми HoTT для типів ідентичності є специфікацією . Рівняння не говорить нам, як обчислити, чи як побудувати , але, однак, однак "реалізований", нам потрібно, щоб він задовольнив рівняння. Окреме питання, чи можна таке отримати конструктивно. $\mathrm{ind}_{=_C}(C,c,x,x,\mathrm{refl}(x)) \equiv c(x)$ $\mathrm{ind}_{=_C}$ $\mathrm{ind}_{=_C}$ $\mathrm{ind}_{=_C}$

Нарешті, я трохи втомився, як ви вживаєте слово "конструктивний". Схоже, ви думаєте, що "конструктивне" те саме, що "визначене". Згідно з цією інтерпретацією оракул Halting є конструктивним, оскільки його поведінка визначається вимогою, яку ми накладаємо на нього (а саме тим, що він виводить 1 або 0 відповідно до того, чи зупиняється дана машина). Переважно можна описати об'єкти, які існують лише в неконструктивних умовах. І навпаки, цілком можна конструктивно говорити про властивості та інші речі, які насправді неможливо обчислити. Ось одне: відношення визначене $H \subseteq \mathbb{N} \times \{0,1\}$

H (n, d) ⟺ (d = 1 \Rightarrow n -th machine halts) \land (d = 0 \Rightarrow n -th machine diverges)

$H(n,d) \iff (d = 1 \Rightarrow \text{$n$-th machine halts}) \land (d = 0 \Rightarrow \text{$n$-th machine diverges})$ є конструктивним, тобто немає нічого поганого в цьому визначенні з конструктивної точки зору. Так буває, що конструктивно не можна показати, що - це сумарне відношення, і його характеристична карта не через , тому ми не можемо "обчислити" його значення.

H

$H$

χ_{H} : N \times {0, 1} \to P r o p

$\chi_H : \mathbb{N} \times \{0,1\} \to \mathsf{Prop}$

b o o l

$\mathtt{bool}$

Додаток: Назва вашого питання "Чи індукція контуру конструктивна?" Очистивши різницю між "конструктивним" та "визначеним", ми можемо відповісти на питання. Так, індукція шляху, як відомо, є конструктивною у певних випадках:

Якщо ми обмежимося теорією типів без однозначності, щоб ми могли проявити сильну нормалізацію, то індукція тракту та все інше є конструктивним, оскільки існують алгоритми, які виконують процедуру нормалізації.
Існують моделі реалізації теорії типів, які пояснюють, як кожному закритому терміну в теорії типів відповідає машина Тьюрінга. Однак ці моделі задовольняють Аксіому К Стрейхера, яка виключає Універсальність.
Існує переклад теорії типів (знову ж таки без однозначності) на конструктивну теорію множин CZF. Це ще раз підтверджує аксіому К. Стрейхера.
Всередині моделі реалізаційності є групоподібна модель, яка дозволяє інтерпретувати теорію типів без К. Стрейчера. Це попередня робота Стіва Уоді і я.

Нам дійсно потрібно розібратися в конструктивному стані Універсальності.

— Андрій Бауер
джерело

Я вважаю, що ця відповідь зараз (частково) застаріла

— WorldSEnder

Дійсно, в середній час теорія кубічного типу дала позитивну відповідь: існує конструктивна модель теорії одновалентного типу.

— Андрій Бауер

7

Я не HoTT людина, але я закину свої два центи.

Припустимо, ми хочемо зробити функцію Як би ми це зробили? Ну, припустимо, нам дано будь-яке і доказ їх рівності . Оскільки я нічого не знаю про довільний тип , я нічого не знаю про `структуру '

f_{A} : \prod_{x, y : A} \prod_{p : x =_{A} y} C (x, y, p)

$f_A : \prod_{x,y : A}\prod_{p : x =_A y} C(x,y,p)$

x, y : A

$x,y : A$

p : x =_{A} y

$p : x =_A y$

A

$A$

x, y

$x,y$ . Однак я знаю щось про конкретний тип рівності: він має єдиний конструктор,

Отже,

для деякого

, але це примусить

. Отже, якби у нас був елемент

для будь-якого

{r e f l}_{a} : a =_{A} a, for any a : A

$\mathsf{refl}_a : a =_A a, \text{ for any } a : A$

p \equiv {r e f l}_{a}

$p \equiv \mathsf{refl}_a$

a : A

$a : A$

x = a = y

$x=a=y$

C (x, x, {r e f l}_{x})

$C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

; тобто якщо ми мали функцію

(для нашого конкретного

), то нашу функцію

можна визначити так:

x : A

$x : A$

b a s e_{C} : \prod_{x : A} C (x, x, {r e f l}_{x})

$base_C : \prod_{x:A}C(x,x,\mathsf{refl}_x)$

C

$C$

f_{A}

$f_A$

f_{A} (x, y, p) := b a s e_{C} (x, x, p)

$f_A(x,y,p) := base_C(x,x,p)$ .

Позбавлення від підписок призводить до загального спонукального визначення.

Сподіваюся, що це допомагає!

$e$ $E$ $E$

— Муса Аль-Хассі
джерело

1

Можливо, ви можете трохи зрозуміти це, або принаймні занепокоїтись своїми поточними інтуїціями, перевіривши math.andrej.com/2013/08/28/the-elements-of-an-inductive-type, де я намагаюся пояснити, чому шкідливо думати, що закриті терміни типу - це все, що є для типу.

— Андрій Бауер

2

r e f l

$\mathsf{refl}$

3

$A\times B$ $A\times B$

p а i r : А \to Б \to А \times Б

$\mathrm{pair}\ :\ A\rightarrow B\rightarrow A\times B$

f

$f$

A \times B

$A\times B$ $\mathrm{pair}$

$\mathrm{pair}$ $f:A\times B\rightarrow C$ $A$ $B$

f^{'} : A \to B \to C

$f':A\rightarrow B\rightarrow C$

f

$f$

A \times B

$A\times B$

(A \to B \to C) \to (A \times B \to C)

$(A\rightarrow B\rightarrow C)\rightarrow(A\times B\rightarrow C)$

{i n d}_{A \times B}

$\mathrm{ind}_{A\times B}$

$f$ $\mathrm{pair}(a,b)$ $f$ $f'$

f (p a i r (a, b)) := f^{'} a b

$f(\mathrm{pair}(a,b))\ :=\ f'\ a\ b$

{i n d}_{A \times B} f^{'} p a i r (a, b) := f^{'} a b

$\mathrm{ind}_{A\times B}\ f'\ \mathrm{pair}(a,b)\ :=\ f'\ a\ b$

=

$=$

Отже, ви бачите, що визначення елімінатора для індуктивного типу з даними конструкторами відбувається в 2 етапи:

$\mathrm{ind}$
$\mathrm{ind}$

$=_A$ $x,y:A$ $p:x=y$ $C$ $p$ $x=y$ $\mathrm{refl}(z)$ $z$

f : Π x, y : A, x = y \to C

$f:\Pi x, y:A, x=y\rightarrow C$

f^{'} : Π z : A, C

$f':\Pi z:A, C$

r e f l (z)

$\mathrm{refl}(z)$

C

$C$

$f$ $f'$

f z z r e f l (z) := f^{'} z

$f\ z\ z\ \mathrm{refl}(z):= f'\ z$

$A\times B$ $=_A$

— коді
джерело