Складність обчислень

Яка складність обчислення ?$n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

Використовуючи швидке перетворення Фур'є, множення на бітні числа можна здійснити за час ˜ O ( k ) (де тильда означає, що ми ігноруємо полілогіармічні фактори). Шляхом повторного квадратування ми можемо обчислити n n 2 за допомогою множення на O ( log n ) , і кожне множення передбачає не більше, ніж n n 2 , яке має приблизно n 2 log 2 n біт. Отже загальна необхідна кількість часу становить ˜ O ( n 2$k$$\tilde{O}(k)$$n^{n^2}$$O(\log n)$$n^{n^2}$$n^2 \log_2 n$ .$\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

Відредаговано у відповідь на коментарі Час обчислення можна розкласти на час, необхідний для обчислення f 1 ( n ) = n 2, і час, необхідний для виконання n f 1 ( n ) . Я вважаю, що множення m бітного числа на n бітне число займає рівно m n час методом шкільної книги; доповнення тощо - постійний час. В результаті обчислення n 2 приймає журнал $f(n) = n^{n^2}$$f_1(n) = n^2$$n ^ {f_1(n)}$$m$$n$$mn$$n^2$час.$\log_2^2 (n)$

Припустимо, ми використовуємо двійкову експоненцію для обчислення . Двійкові експоненції виконують два види операцій при обчисленні f ( n ) : зіставлення поточного продукту та множення поточного добутку на n відповідно до того, чи поточний біт у бінарному розширенні n 2 дорівнює 0 або 1. У гіршому випадку, n 2 - потужність двох, так що бінарне експоненцію багаторазово квадратує свій поточний добуток, поки не досягне відповіді. Зауважте, що n 2 має m ′ = ⌈ 2 log 2 ( $f(n)$$f(n)$$n$$n^2$$n^2$$n^2$ біт, так що кількість таких квадратів m = m ′ - 1 . Цей випадок ми аналізуємо далі нижче.$m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$$m= m'-1$

Перше квадратування займає час, в результаті чого продукт o 1 = 2 log 2 ( n ) -біт. Другий квадратик займає два o 1 бітових числа і запускається в t 2 = o 2 1 раз, в результаті чого продукт o 2 = 2 o 1- біт. Продовжуючи i -й крок займає t i = 4 i - 1$t_1=\log_2^2(n)$$o_1=2 \log_2(n)$$o_1$$t_2=o_1^2$$o_2=2o_1$$i$час і виводить aoi=2ilog2(n)-бітний продукт. Цей процес зупиняється наm-му кроці; як результат, потрібен час$t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$$o_i=2^{i} \log_2 (n)$$m$

. $T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$

Коли включена початкова вартість квадратування, ми вважаємо, що нам потрібен максимум часу

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

Примітка

• Я опустив деякі підлоги та стелі в обчисленнях, сподіваючись, що вони не вплинуть істотно на відповідь.
• $O$
• $O$$\sum t_i$$O(\log n)$
• Розмноження можна завжди прискорити за допомогою FFT та інших методів.