Чи може часова складність Big-Oh містити більше однієї змінної?

Скажімо, наприклад, я роблю обробку рядків, яка вимагає певного аналізу двох рядків. Я не дав інформації про те, якою може бути їх тривалість, тому вони походять з двох різних сімей. Чи було б прийнятним назвати складність алгоритму або (залежно від того, чи будемо ми використовувати наївний або оптимізований алгоритм)? $O(n * m)$ $O(n + m)$

Принаймні, припустимо, що алгоритм, який ми вибираємо, насправді вимагає двох етапів - фази налаштування на першій рядку, яка дозволяє обробляти будь-яку кількість інших рядків, не покладаючи на це початкову вартість. Чи вважатиметься доцільним сказати, що у нього є конструкція наступною будь-якою кількістю обчислень ? $O(n)$ $O(m)$

Чи було б доречно просто назвати їх оскільки обидва обчислення є лінійними? $O(n)$

— corsiKa
джерело

Побачте коментарі до цієї відповіді за короткою справою - моя повага до @corsiKa за те, що він так сміливо задав таке суперечливе запитання.

— OldCurmudgeon

@OldCurmudgeon, я бачу. Мені б не хотілося проникнути в цю тему коментарів. Олдкурмедж, ти сперечаєшся на позначенні великого O, не розуміючи нотації big-O? Справді незграбно. Також ви та corsiKa сперечаєтесь про час роботи, не визначаючи параметри і - рецепт неправильного спілкування. Підказка: одна спільна умова при роботі з рядками полягає в тому, щоб погодитись на використання для використання довжини однієї струни і для довжини іншої рядки - але в ідеалі, мабуть, найкраще зробити це явним, тому що в іншому випадку це може спричинити плутанину (як проілюстровано тут).

n

$n$

m

$m$

m

$m$

n

$n$

— DW

@DW Можливо, OldCurmudgeon просто навчився різному визначенню в школі ... як я зазначаю в коментарі нижче, можна уникнути декількох змінних, хоча я досі не думав про це. Може, це - чи щось подібне - раніше було стандартним?

— Патрік87

Я думаю, що на це є достатньо відповідей тут і тут .

— Рафаель

Так, звісно. Це прекрасно і цілком прийнятно. Зазвичай і стандартно бачити алгоритми, час роботи яких залежить від двох параметрів.

Наприклад, ви часто бачите час виконання першого глибинного пошуку, вираженого як , де - кількість вершин, - кількість ребер у графіку. Це цілком справедливо. Сенс цього полягає в тому, що існує константа і числа така, що час роботи алгоритму становить не більше , для всіх . Іншими словами, якщо точний час роботи , ми говоримо, що якщо існують такі, що і мається на увазі $O(n+m)$ $n$ $m$ $c$ $n_0,m_0$ $c \cdot (n+m)$ $n>n_0,m>m_0$ $f(n,m)$ $f(n,m) = O(n+m)$ $c,n_0,m_0$ $n>n_0$ $m>m_0$ $f(n,m) \le c \cdot (n+m)$ .

Так, цілком доречно і прийнятно сказати, що перша стадія займає час, а друга стадія займає час. $O(n)$ $O(m)$

Важливо: обов'язково визначте, що таке та . Ви не можете сказати «це алгоритм часу », не вказуючи, що таке . Якщо не вказано в заяві про проблему, потрібно вказати її. Наприклад, див. Алгоритми графіків, де ми зазвичай визначаємо # вершин і # ребер. $n$ $m$ $O(n)$ $n$ $n$ $n =$ $m =$

Що стосується того, чи можете ви назвати їх час, ні, звичайно, ні, якщо тільки ви якось не знаєте, що . Звичайно, якщо ви знаєте, що , то випливає, що , тому алгоритм часу також є алгоритмом часу . Але якщо немає гарантії, що , то ви не можете назвати це алгоритмом часу . $O(n)$ $m = O(n)$ $m = O(n)$ $m+n = O(n)$ $O(m+n)$ $O(n)$ $m = O(n)$ $O(n)$

Це основні речі. Ви знайдете це в усіх підручниках алгоритмів.

— DW
джерело

@OldCurmudgeon, шанси на те, що ви знайдете приклади цього у багатьох підручниках із стандартними алгоритмами. Які ви подивилися? Чи спробували ви подивитись у розділ глибокого пошуку (приклад, який я згадував у своїй відповіді)?

— DW

@OldCurmudgeon У моєму виданні CLRS вправі 3.1-8 представлено саме таке визначення примітки для функцій багатьох змінних. А його верхня межа часу виконання dfs становить для графа .

O

$O$

O (V + E)

$O(V+E)$

(V, E)

$(V,E)$

— Кирило

@Kirill Моя думка полягала в тому, що це було можливо мислити, колись у минулому вважалося прийнятим вважати лише загальну довжину сукупності, настільки, наскільки це може бути визнано помилкою. Якщо ви оцінюєте іспит студента, і цей студент використовував загальну довжину введення як змінну за часовою складністю DFS, чи вважаєте ви помилкою не враховувати два виміри (V і E)? Що правда, і те, що люди готові поступитися, - це не завжди одне і те саме.

n

$n$

— Patrick87

Я згоден, якщо всі використовують позначення Ландау таким чином, але майже ніхто не знає, що це насправді (якщо ви не підключите параметри функціонально). Дивіться також статтю, зв'язану у відповіді А. Шульца, яка починається з того, що "основне" та "загальне" використання неправильне.

— Рафаель

@ Patrick87 Теорія складності використовує, завдяки визначенню багатьох відомих класів, в основному довжину введення (з помітними винятками). Аналіз алгоритму - якщо це серйозно - зацікавлений дізнатися щось про фактичне використання ресурсів (наскільки це дозволяє модель), тож інші параметри стають цікавішими, як намалювати всю картину (точніше).

— Рафаель