Чи суперечить комбінатор Y проти листування Кері-Говарда?

Комбінатор Y має тип . За кореспонденцією Керрі-Говарда, оскільки тип ( a → a ) → a заселений, він повинен відповідати справжній теоремі. Однак a → a завжди відповідає дійсності, тому видається, що тип комбінатора Y відповідає теоремі a , що не завжди відповідає дійсності. Як це може бути?$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

Оригінальне листування Керрі-Говарда - це ізоморфізм між інтуїтивістською логікою пропозицій та просто набраним лямбда-численням.

Звичайно, є й інші ізоморфізми, подібні до Крі-Говарда; Філ Вадлер знаменито зазначив, що двоствольне ім'я "Керрі-Говард" пророкує інші назви з двоствольним стволом на кшталт "Хіндлі-Мілнер" і "Жирард-Рейнольдс". Було б смішно, якби «Мартін-Леф» був одним із них, але це не так. Але я відволікаюсь.

Комбінатор Y не суперечить цьому з однієї ключової причини: він не виражається в просто набраному лямбдальному обчисленні.

Насправді в цьому і полягає вся суть. Haskell Curry виявив комбінатор точок фіксації в нетиповому обчисленні лямбда і використовував це для доведення того, що нетипізований обчислення лямбда не є системою дедукції звуку.

Цікаво, що тип Y відповідає логічному парадоксу, який не так відомий, як це має бути, називається парадоксом Керрі. Розглянемо це речення:

Якщо це речення вірно, то Санта Клаус існує.

Припустимо, вирок був істинним. Тоді, очевидно, Дід Мороз існував би. Але саме про це говорить речення, тому речення є істинним. Тому Дід Мороз існує. QED

Curry-Howard пов'язує системи типу з логічними системами дедукції. Крім усього іншого, він відображає:

• програми до доказів
• оцінювання програми до перетворень на підтвердження
• населені типи до справжніх пропозицій
• тип системи для логічних систем дедукції

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

Листування Кері-Говарда - це саме те, що: листування. Саме по собі це не говорить про те, що певні теореми є істинними. Це говорить про те, що типізація / спроможність переносяться з однієї сторони на іншу.

Кореспонденція Кері-Говарда корисна як інструмент доказування для багатьох типів систем: просто набрано лямбда-числення, систему F, обчислення конструкцій тощо. Усі ці системи типів мають властивість узгоджувати відповідну логіку (якщо звичайна математика є послідовною ). Вони також мають властивість не допускати довільної рекурсії. Листування Кері-Говарда показує, що ці дві властивості пов'язані.

Curry-Howard як і раніше застосовується до невстановлених типізованих розрахунків та непослідовних систем відрахувань. Це просто не особливо корисно.