Зміна змінних у відношеннях повторення

В даний час я самостійно вивчаю «Вступ до алгоритмів» (CLRS), і є один конкретний метод, який вони окреслюють у книзі, щоб вирішити відносини рецидивів.

Наступний спосіб можна проілюструвати цим прикладом. Припустимо, у нас є рецидив

T (n) = 2 T (\sqrt{n}) + \log n

$T(n) = 2T(\sqrt n) + \log n$

Спочатку вони роблять заміну m = lg (n), а потім підключають її до рецидиву і отримують:

T (2^{m}) = 2 T (2^{\frac{m}{2}}) + m

$T(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m$

До цього моменту я прекрасно розумію. Наступний крок - той, хто мене бентежить.

Тепер вони "перейменують" повтор і нехай , що, очевидно, створює $S(m)$ $S(m) = T(2^m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m

$S(m) = 2S(m/2) + m$

Чомусь мені не зрозуміло, чому це перейменування працює, і це просто здається обманом. Хтось може пояснити це краще?

— goooser
джерело

Відповіді:

Це, звичайно, не обман. Подумайте в обчисленні, як заміщення може бути використане для вирішення складного інтеграла. Заміна робить рівняння більш керованим для маніпуляцій. Крім того, заміщення може перетворити дещо складні рецидиви на звичні.

Це саме те, що відбулося у вашому прикладі. Визначимо новий повтор . Пам'ятайте, що . Зауважте, . Якщо ця конкретна точка все ще незрозуміла, нехай і помітимо все, що ми робимо, це . Тепер ми можемо виразити , розклавши його до: Вирішуючи для ми бачимо, що він відповідає нашому знайомому другу . Тепер, коли ми вирішили ми хочемо висловити це через . Для цього просто підключіть до початкового значення $S(m)=T(2^m)$ $T(2^m) = 2T(2^\frac{m}{2}) + m$ $S(m/2) = T(2^\frac{m}{2})$ $k =m/2$ $S(k) = T(2^k)$ $S(m)$

S (m) = 2 S (m / 2) + m .

$S(m) = 2S(m/2) + m.$

S

$S$

O (m \log m)

$O(m \log m)$

S

$S$

T (n)

$T(n)$

m

$m$ і у нас є .

T \in O (\log n \log \log n)

$T \in O(\log n \log \log n)$

— Ніколас Манкузо
джерело

Правильно, я повністю розумію, як підміна допомагає полегшити проблеми і як повернути значення назад, щоб отримати складність з точки зору n. Я думаю, що моє запитання полягає в тому, як випустити S (m) = T (2 ^ m), як ви отримуєте S (m / 2)? Для мене це чомусь просто не очевидно. Якщо бути більш конкретним, як ви робите висновок, що T (2 ^ (m / 2)) = S (m / 2). Схоже, що у повторенні T розмір

Єдина частина, яку я не розумію, - це коли ти кажеш "Зверніть увагу, S (m / 2) = T (2 ^ (m / 2))" Це єдина частина, яка мені не очевидна. Я звик до ідеї внесення змінних підстановок, але я не дуже звик до ідеї заміни цілого рецидиву.

Ну добре, що остання редакція зробила це для мене. Тепер зрозуміло, дякую!

Я трохи сумніваюся. Якщо я пишу функцію S () в термінах kя отримую нижче рівняння S (к) = 2S (к / 2) + м Як я можу отримати заміну mдляk

— Atinesh

Що означає, що і це дві різні функції, які дають однаковий результат, приймаючи входи як і відповідно. $S(m) = T(2^m)$ $S$ $T$ $m$ $2^m$

Функція може розглядатися як оператор з двома внутрішніми кроками (інакше - склад функцій): $S$

$S'$ оператор: Вхід: , Вихід: $m$ $2^m$
$T$ Оператор (оригінальна функція): Вхід: вихід першої частини, Вихід: Як визначено спочатку.

Тому переходи є:

m \to 2^{m} \to T (2^{m}) = S (m)

$m\to 2^m\to T(2^m) = S(m)$

\frac{m}{2} \to 2^{m / 2} \to T (2^{m / 2}) = S (\frac{m}{2}) .

$\tfrac{m}2\to2^{m/2}\to T(2^{m/2}) = S(\tfrac{m}2)\,.$

— Вівек Ананд Сампат
джерело