n * log n та n / log n проти часу виконання полінома

Я розумію, що швидше, ніж і повільніше, ніж . Мені важко зрозуміти, як насправді порівняти та з де .Θ ( n log n ) Θ ( n / log n ) Θ ( n log n ) Θ ( n / log n ) Θ ( n f ) 0 < f < $\Theta(n)$$\Theta(n\log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n \log n)$$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^f)$$0 < f < 1$

Наприклад, як ми вирішуємо vs. абоΘ ( п 2 / 3 ) Θ ( п 1 / 3$\Theta(n/\log n)$$\Theta(n^{2/3})$$\Theta(n^{1/3})$

Я хотів би мати певні вказівки щодо провадження у таких випадках. Дякую.

Якщо ви просто намалюєте пару графіків, ви будете в хорошій формі. Вольфрам Альфа - чудовий ресурс для таких досліджень:

Створено за цим посиланням . Зауважте, що на графіку log (x) - це природний логарифм, через що рівняння одного графа виглядає дещо смішним.

- зворотний 2 n . Так само, як 2 n зростає швидше, ніж будь-який многочлен n k, незалежно від того, наскільки великою є кінцева k , log n зростатиме повільніше, ніж будь-яка поліноміальна функція n k, незалежно від того, наскільки малий ненульовий, позитивний k .$\log n$$2^n$$2^n$$n^k$$k$$\log n$$n^k$$k$

vs n k , для k < 1 ідентично: n / log n vs n / n 1 - $n / \log n$$n^k$$k < 1$$n / \log n$$n / n^{1-k}$

як для великих n , n / log n > n k для k < 1 і великих n .$n^{1-k} > \log n$$n$$n / \log n > n^k$$k < 1$$n$

Для багатьох алгоритмів іноді трапляється, що константи різні, що призводить до того, що ті чи інші є швидшими або повільнішими для менших розмірів даних, і вони не так упорядковані за алгоритмічною складністю.

Сказавши це, якщо ми розглянемо лише надвеликі розміри даних, тобто. який зрештою виграє, то O(n^f)швидше, ніж O(n/log n)для 0 < f < 1.

Значна частина алгоритмічної складності полягає у визначенні того, який алгоритм зрештою швидший, таким чином, знаючи, що O(n^f)швидше, ніж O(n/log n)для 0 < f < 1, досить часто.

Загальне правило полягає в тому, що множення (або ділення) на log nврешті-решт буде незначним порівняно з множенням (або діленням) n^fна будь-яке f > 0.

Щоб показати це більш чітко, давайте розглянемо, що відбувається з ростом n.

   n       n / log n         n^(1/2)
   2        n/ 1              ?
   4        n/ 2             n/ 2
   8        n/ 3              ?
  16        n/ 4             n/ 4
  64        n/ 6             n/ 8
 256        n/ 8             n/16
1024        n/10             n/32

Помітьте, що швидше зменшується? Це n^fколона.

Навіть якщо це fбуло ближче до 1, n^fстовпець просто почне повільніше, але, оскільки n подвоїться, швидкість зміни знаменника прискорюється, тоді як знаменник n/log nстовпця змінюється постійною швидкістю.

Побудуємо на графіку конкретний випадок

Джерело: Вольфрам Альфа

Я вибрав O(n^k)таке, що kдосить близько до 1 (at 0.9). Я також вибрав константи, щоб спочатку O(n^k)було повільніше. Однак зауважте, що вона врешті-решт «виграє» і займає менше часу, ніж O(n/log n).

Просто подумайте про як про $n^f$ . Так для прикладу,п2/3=п/п1/3. Тоді легко порівняти ріст$\dfrac{n}{n^{1-f}}$$n^{2/3}=n/n^{1/3}$

$\log n$$n^\varepsilon$$\varepsilon>0$

Порівнюючи час роботи, завжди корисно порівнювати їх, використовуючи великі значення n. Для мене це допомагає побудувати інтуїцію щодо того, яка функція повільніше

У вашому випадку подумайте про n = 10 ^ 10 і a = .5

O(n/logn) = O(10^10/10) = O(10^9)
O(n^1/2) = O(10^10^.5) = O(10^5)

Отже, O (n ^ a) швидше, ніж O (n / logn), коли 0 <a <1 я використав лише одне значення, однак ви можете використовувати декілька значень для побудови інтуїції щодо функції

$f \prec g$

$(2, 10) < (3, 5)$$(2, 10) > (2, 5)$

Застосовано до вашого прикладу:

$\mathcal{O}(n/\log n) \Rightarrow (1, -1, 0)$

$\mathcal{O}(n^{2/3}) \Rightarrow (2/3, 0, 0)$

$\mathcal{O}(n^{1/3}) \Rightarrow (1/3, 0, 0)$

Можна сказати: повноваження n домінують над силами журналу, які домінують над силами журналу журналу.

Джерело: Конкретна математика, с. 441