Що не так у сумах термінів Ландау?

я написав

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

але мій друг каже, що це неправильно. З шпаргалки TCS я знаю, що суму називають також $H_n$ яка має логарифмічний ріст у $n$ . Тож мій зв’язок не дуже гострий, але достатній для аналізу, який мені знадобився.

Що я зробив не так?

Редагувати : Мій друг каже, що з тими ж міркуваннями ми можемо це довести

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

Тепер це, очевидно, неправильно! Що тут відбувається?

asymptotics landau-notation

— Рафаель
джерело

Дивіться дискусію щодо тегів цього питання тут .

— Рафаель

мета-дискусія про алгоритми тегів .

— Каве

Дивіться також більш конкретне трактування поширеного прикладу: Яке асимптотичне виконання цього вкладеного циклу?

— Жил "ТАК - перестань бути злим"

Відповіді:

Те, що ви робите, - це дуже зручне зловживання нотацією.

Деякі педанти скажуть, що те, що ви пишете, - це нісенітниця, оскільки позначає набір, і ви не можете робити арифметичні операції над ними так, як ви робите. $\mathcal{O}(f)$

Але це гарна ідея проігнорувати ці педанти і припустити, що означає якийсь член набору. Отже, коли ми говоримо , що ми маємо на увазі, якщо це $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ . (Примітка: деякі педанти також можуть здригнутися від цього твердження, стверджуючи, що - це число, а $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ це функція!)

Це робить дуже зручним писати подібні вирази

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

Це означає, що є деякі таким чином, що $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

У вашому випадку

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

ви ще більше зловживаєте цим, і вам потрібно бути обережними.

Тут є дві можливі інтерпретації: чи відноситься до функції , або до функції ? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

Я вважаю, що правильне тлумачення - інтерпретувати його як функцію . $k$

Якщо ви намагаєтеся думати про нього , як функції , думав не неправильно, це може призвести до потенційних помилках, як мислення є і намагається записати $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

Якщо ви спробуєте думати про це як про функцію , то це правда, якщо $k$ (якості аргументу переходить до ) і ніколи не , то $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

Зауважимо, що в середині ми використовували зручне зловживання позначенням щоб означати, що для деякої функції сума дорівнює $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ . Зауважимо, що підсумкова функція всередині відноситься до функції . Доведення це не так складно, але ви повинні потурбуватися про те, що ви маєте справу з асимптотичною верхньою межею (тобто для досить великих аргументів), але сума починається прямо з . $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

Якщо спробувати думати про це як про функцію $n$ , то також вірно, що якщо (як аргумент іде до ), то $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

Отже, ваші докази по суті вірні в будь-якій інтерпретації.

— Ар'ябхата
джерело

Підсумок: Будьте в курсі (переконайтесь), що кожне виникнення символу Ландау вводить (має) свою константу .

— Рафаель

Те, що ви написали, цілком коректно. The $n$ - й гармоніки числа, дійсно , в безлічі . $O(n)$

Доведення: . $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

Верхня межа не щільна , але це правильно. $O(n)$

— JeffE
джерело

Гаразд: 1 / i ≤ 1 = O (1).

— JeffE

Турбота спрямована на другий знак рівності. Як я можу це перевірити?

— Рафаель

Але це теж правильно. Сума з n доданків, кожен з яких O (1), справді є O (n).

— Суреш

@ Суреш Тільки якщо константи , на які посилається

s, не залежать від змінної підсумовування, і тут суть (насіннєве питання).

O

$\cal{O}$

— Рафаель

Помилка не в другій рівності. помилка (у другому виразі) полягає в тому, як ви ЗНАЙДАєте до цього підсумовування. Перехід від

правильний. Він стверджує, що

неправильний. Я усвідомлюю, що це очевидно для всіх зацікавлених, але я вважаю, що це проблема із питаннями "висіву" :)

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

— Суреш

У другому прикладі ви не можете стверджувати, що

i = O (1)

$i = O(1)$

оскільки змінюється з . Через кілька кроків стане так, що . Більш підходящим способом є сказати, що оскільки дійсно протягом усієї суми ніколи не перевищує . За цим міркуванням, $i$ $n$ $i>n/2$ $i = O(n)$ $i$ $1\cdot n$

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

Однак правильним є насправді використовувати позначення big-O лише в кінці. Верхньою мірою підв’яжіть підсумки максимально щільно, і лише тоді, коли ви готові, використовуйте асимптотичні позначення, щоб уникнути цих підводних каменів.

— Ран Г.
джерело