Чому проблеми, повні з NP, настільки відрізняються з точки зору їх наближення?

Я б хотів розпочати питання, сказавши, що я програміст, і я не маю багато досвіду в теорії складності.

Одне, що я помітив, - це те, що, хоча багато проблем є неповними, але деякі проблеми набагато складніше визначити, ніж інші.

Хороший приклад - TSP. Незважаючи на те, що всі види TSP не є повними NP, відповідні проблеми з оптимізацією стають легшими та легшими наближеннями з послідовними спрощеннями. Загальний випадок є NPO-повним, метричний випадок - APX-повним, а у випадку Евкліда фактично є PTAS.

Мені це здається протиінтуїтивним, і мені цікаво, чи є в цьому причина.

Однією з причин того, що ми бачимо різні складності апроксимації для проблем, повних NP, полягає в тому, що необхідні умови для NP-повного є дуже грубовиміреною мірою складності проблеми. Можливо, ви знайомі з основним визначенням проблеми як NP-завершеним:$\Pi$

1. $\Pi$ знаходиться в NP, і
2. Для кожної іншої задачі в NP, ми можемо перетворити екземпляр з в екземпляр з в поліноміальний час таким чином, що - екземпляр так якщо і тільки якщо - екземпляр так " .$\Xi$$x$$\Xi$$y$$\Pi$$y$$\Pi$$x$$\Xi$

Розглянемо умову 2: все, що потрібно, це те, що ми можемо взяти і перетворити його в деякий який зберігає відповідь "однобітний" так / ні. Немає жодних умов щодо, наприклад, відносного розміру свідків "так" або "ні" (тобто розмір рішення в контексті оптимізації). Тож єдиний застосований захід - це загальний розмір вводу, який дає дуже слабкий стан щодо розміру розчину. Тож перетворити в досить "просто" .$x$$y$$\Xi$$\Pi$

Ми можемо побачити різницю різних завдань, повних NP, переглядаючи складність деяких простих алгоритмів. -Кольорування має грубу силу (де - вхідний розмір). Для -Dominating Set, підхід грубої сили приймає . Це, по суті, найкращі точні алгоритми, які ми маємо. -Vertex Cover однак має дуже простий алгоритм (виберіть край, гілку, до якої слід включити кінцеву точку, позначте всі охоплені, продовжуйте продовжувати, поки у вас не буде маркованих країв або ви не натиснули ваш бюджет$k$$O(k^{n})$$n$$k$$O(n^{k})$$k$$O(2^{k}n^{c})$$k$і бактрак). За скорочення багато-одного часу в багаточлен (скорочення Карпа, тобто те, що ми робимо в умовах 2 вище) ці проблеми є рівнозначними.

Коли ми починаємо підходити до складності ще з делікатнішими інструментами (складність наближення, параметризована складність, будь-які інші, про які я не можу придумати), скорочення, які ми використовуємо, стають більш суворими, а точніше, більш чутливими до структури рішення, і відмінності починають проявлятися; -Vertex Cover (як згадував Юваль) має просте 2-наближення (але не має FPTAS, якщо деякі класи складності не згортаються), -Dominating Set має алгоритм апроксимації (але немає -приближення для деяких ), а наближення насправді зовсім не має сенсу для прямої версії -Coloring.$k$$k$$(1+\log n)$$(c\log n)$$c>0$$k$

Один із способів розглянути різницю між версією рішення та оптимізаційною версією - розглядати різні версії оптимізації однієї версії рішення. Візьмемо для прикладу проблему MAX-CLIQUE, яку дуже важко наблизити з точки зору звичайного параметра - розміру кліку. Якщо змінити параметр оптимізації на логарифм розміру кліки, ми отримаємо задачу з алгоритмом наближення . Якщо змінити параметр оптимізації для 1 / 2 + до / п , де до є розмір кліки, то ми можемо отримати O ( 1 $O(\log n)$$1/2 + k/n$$k$$O(1)$ алгоритм наближення.

Ці приклади не повністю складені. Проблеми MAX-INDEPENDENT-SET (еквівалентні MAX-CLIQUE) та MIN-VERTEX-COVER тісно пов’язані - доповненням незалежного набору є вершинна кришка. Але хоча перше важко наблизити, остання має просте 2-наближення.

Зменшення, що показують твердість NP заданої проблеми, іноді можуть бути використані і для показу твердості наближення, але це не завжди так - це залежить від зменшення. Наприклад, зниження від MAX-INDEPENDENT-SET до MIN-VERTEX-COVER не передбачає жорсткості наближення останньої задачі, яку набагато легше наблизити, ніж першої.

Підводячи підсумок, твердість NP - лише один із аспектів проблеми. Твердість наближення - це інший аспект, і вона сильно залежить від поняття наближення.

Як інтуїтивно зрозумілий підхід, розглянемо, що обґрунтування завдань, повних NP, не завжди є таким важким, як загальний випадок. Бінарна задоволеність (SAT) не є повною, але знайти рішення A v B v C v D v ... Але алгоритми складності просто пов'язали найгірший, а не середній випадок, або навіть 90% випадок .

Найпростіший спосіб звести неповну проблему до чогось більш простого - просто виключити жорсткі деталі. Це обман, так. Але часто інші частини все ще корисні для вирішення реальних проблем. У деяких випадках лінію між "легким" і "важким" легко провести. Як ви вказали для TSP, сильне зменшення труднощів, оскільки ви обмежуєте проблему навколо "нормальних" напрямків, про які можна подумати. Для інших проблем , важче знайти корисні в реальному житті способи поділу легких та важких частин.

Щоб повністю залишити царину CS та математики, розглянемо старий автомобіль. Ваш друг хоче його проїхати. Якщо вам доведеться сказати йому: "Ей, машина працює ідеально. Тільки не сприймайте її вище 95 км / ч. Існує неприємне коливання, яке виб'є вас з дороги", це, мабуть, не велика справа. Твій друг, мабуть, хотів лише взяти його по місту. Однак, якщо вам доведеться сказати йому, "вам доведеться зачепити перше зчеплення, щоб їхати з 1-го на 2-е місце, інакше двигун затримається", вашому другові може бути складніше користуватися автомобілем по місту без невеликої підготовки.

Крім того, якщо проблема, що завершилася NP, утруднена лише в екзотичних випадках, вона досить швидко зменшує складність, коли ви дивитесь на субдомени. Однак, якщо це стає важко в часто зустрічаються випадках, не так багато корисних субдоменів, які уникають важкої частини.