Сортування як лінійна програма

Дивовижна кількість проблем має досить природне скорочення до лінійного програмування (LP). Див. Розділ 7 [1] для прикладів, таких як мережеві потоки, двостороннє узгодження, ігри з нульовою сумою, найкоротші шляхи, форма лінійної регресії та навіть оцінка схеми!

Оскільки оцінка ланцюга зводиться до лінійного програмування, будь-яка проблема в повинна мати форму лінійного програмування. Тому у нас є "новий" алгоритм сортування через скорочення до лінійної програми. Отже, мої запитання є$P$

1. Яка лінійна програма, яка буде сортувати масив з реальних чисел?$n$
2. Який час роботи алгоритму сортування «скоротити до LP» та «вирішити»?

1. Алгоритми С. Дасгупта, К. Пападімітріу та У. Вазірані (2006)

Наступна відповідь в основному еквівалентна тій, яку ви вже знаєте, але може здатися трохи менш "магічною". З іншого боку, це більш технічно, але я вважаю, що загальна методика "написати свою проблему як оптимізація на матрицях перестановки і посилатися на Бірхоффа фон Ноймана" - це чудово знати.

Для перестановки з { 1 , ... , п } визначимо матрицю перестановок Р сг як 0-1 матриці , такий , що Р я J = 1 , якщо J = σ ( я ) і Р я J = 0 в іншому випадку. Це просто матриця, яка перетворює координати вектора x відповідно до σ : якщо y = P σ x, то y i = x $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$ . Я позначаюy= P σ xякσ(x)відтепер.$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

Ще одне визначення: негативна матриця M є подвійно стохастичною, якщо кожен її рядок і кожен з її стовпців дорівнює 1.$n\times n$$M$

І один факт, який дуже важливий у комбінаторній оптимізації, - теорема Біркгоффа фон Неймана:

Матриця є вдвічі стохастичною тоді і лише тоді, коли вона є опуклою комбінацією матриць перестановки, тобто тоді і тільки тоді, коли існують перестановки σ 1 , … , σ k і позитивні реалі α 1 , … , α k такі, що M = ∑ k i = 1 α i P σ i і ∑ α i = 1 .$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

Зауважте, що подвійно стохастична матриця визначається нерівностями

∀ j : n ∑ i = 1 M i j = 1 ∀ i , j : M i j ≥

Усі ці нерівності, взяті разом, визначають політоп , а теорема Біркгофа-фон Неймана стверджує, що крайні точки (вершини) цього політопа - це всі матриці перестановки. З базового лінійного програмування ми знаємо, що це означає, що будь-яка лінійна програма, яка має зазначені вище нерівності як свої обмеження (і ніяких інших обмежень), не матиме матрицю перестановки як оптимальне рішення.$P$

Тому , з огляду на вхід бути відсортований, нам просто потрібно придумати лінійна задача е в ( М ) , для яких:$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• якщо σ ( a ) відсортовано, але τ ( a ) - ні.$f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

Потім сформулюйте лінійну програму з метою максимізувати та нерівності, наведені вище, як обмеження, і вам гарантується, що оптимальним рішенням є матриця перестановки P σ для σ, така що σ ( a ) відсортовано. Звичайно, легко "відчитати" σ з P σ .$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• $M$
• $P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

І вуаля, у вас лінійна програма для сортування. Здається, нерозумно для сортування, але це насправді потужний метод оптимізації.